2012北京市高三一模数学理分类汇编1:集合、简易逻辑与函数

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2012 北京市高三一模数学理分类汇编 1:集合、简易逻辑与函数
【2012 北京市丰台区一模理】1.已知集合 A = {x | x < 1}, B = {a} ,若 A I B = φ ,则 a 的取值范围是
2

( A. ( ?∞, ?1) U (1, +∞) B. ( ?∞, ?1] U [1, +∞ ) C. (-1,1) 【答案】B 【 2012 北



D.[-1,1] 1.



















已 (



集 )



M = {a, 0} , N = x 2 x 2 ? 5 x < 0, x ∈ Z , 如果M I N ≠ ?, 则a等于
(A) 1 【答案】C 【2012 北京市海淀区一模理】 (1)已知集合 A = 的值可以是 (A) - 1 【答案】D 【2012 年北京市西城区高三一模理】1.已知全集 U = R ,集合 A = {x | (A) (0,1) (B) (0,1] (C) ( ?∞, 0] U (1, +∞ ) (D) ( ?∞, 0) U [1, +∞) 【答案】C 【解析】 A = {x (B) 0 (C) 1 (D) 2 (B) 2 (C) 1或2 (D)

{

}

5 2

{x x > 1}, B = {x x < m},且 A U B =

R ,那么 m

1 ≥ 1} ,则 ?U A = ( x



1 ≥ 1} = {x 0 < x ≤ 1} ,所以 CU A = {x x ≤ 0或x > 1} ,选 C. x

【2012 北京市门头沟区一模理】已知全集 U = R ,集合 A = x x ? 3 x ? 4 ≤ 0 ,
2

{

}

B = { x x < ?2或x > 3} ,则集合 AI
U

B 等于

(A) x ?2 ≤ x ≤ 4 (C) x ?1 ≤ x ≤ 3 【答案】C

{ {

}

(B) x ?2 ≤ x ≤ ?1 (D) x 3 < x ≤ 4

{

}

}

{

}
2

【2012 北京市石景山区一模理】1. 设集合 M = { x | x 2 ? 2 x ? 3 < 0} , N = { x | log 1 x < 0} ,则 M I N 等于( ) B. (1,3) C. (0,1) D. (?1,0)

A. (?1,1)

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106621885.doc

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【答案】B 【 解 析 】 M = { x | x ? 2 x ? 3 < 0} = { x | ?1 < x < 3} , N = { x | log 1 x < 0} = { x | x > 1} , 所 以
2
2

M I N = {x 1 < x < 3}

,答案选 B.

【2012 北京市石景山区一模理】14.集合

U = {( x, y ) | x ∈ R, y ∈ R}, M = {( x, y ) | x + y < a}, P = {( x, y ) | y = f ( x )},
现给出下列函数:① y = a ,② y = log a x ,③ y = sin( x + a) ,④ y = cos ax ,
x

若 0 < a < 1 时,恒有 P I CU M = P , 则所有满足条件的函数 f ( x ) 的编号是 【答案】①②④ 【解析】由 P I CU M = P ,



可知

M ∩P =φ

,画出相应的图象可知,

①②④满足条件。

【2012 北京市海淀区一模理】 (20)(本小题满分 14 分) 对 于 集 合 M , 定 义 函 数 f M ( x) = ?

??1, x ∈ M , 对于两个集合 M,N,定义集合 ?1, x ? M .

M ?N = {x f M ( x) ? f N ( x) = ?1} . 已知 A = {2, 4, 6,8,10} , B = {1, 2, 4,8,16} .
(Ⅰ)写出 f A (1) 和 f B (1) 的值,并用列举法写出集合 A?B ; (Ⅱ)用 Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数,求 Card ( X ?A) + Card ( X ?B ) 的最小值; (Ⅲ)有多少个集合对(P,Q) ,满足 P , Q ? A U B ,且 ( P?A) ? (Q?B ) = A?B ? 【答案】解: (Ⅰ) f A (1)=1 , f B (1)= - 1 , A?B = {1, 6,10,16} . ……………3 分 (Ⅱ) 根据题意可知: 对于集合 C , X , ①若 a ? C 且 a ? X , Card (C ? ( X U {a}) = Card (C ?X ) ? 1 ; 则 ②若 a ? C 且 a ? X ,则 Card (C ? ( X U {a}) = Card (C ?X ) + 1 . 所以 要使 Card ( X ?A) + Card ( X ?B ) 的值最小,2,4,8 一定属于集合 X ;1,6,10,16 是否属于 X 不影响 Card ( X ?A) + Card ( X ?B ) 的值;集合 X 不能含有 A U B 之外的元素. 所以 当 X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时, Card ( X ?A) + Card ( X ?B ) 取到最小值 4. ………………………………………8 分

(Ⅲ)因为 A?B = {x f A ( x) ? f B ( x) = ?1} , 所以 A?B = B ?A . 由定义可知: f A?B ( x ) = f A ( x ) ? f B ( x ) .
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所以 对任意元素 x , f ( A?B ) ?C ( x ) = f A?B ( x ) ? fC ( x ) = f A ( x ) ? f B ( x ) ? f C ( x ) ,

f A? ( B?C ) ( x ) = f A ( x ) ? f B?C ( x ) = f A ( x ) ? f B ( x ) ? fC ( x ) .
所以 f ( A?B ) ?C ( x) = f A? ( B?C ) ( x) . 所以 ( A?B ) ?C = A? ( B ?C ) . 由 ( P?A) ? (Q?B ) = A?B 知: ( P?Q ) ? ( A?B ) = A?B . 所以 ( P?Q ) ? ( A?B ) ? ( A?B ) = ( A?B ) ? ( A?B ) . 所以 P?Q?? = ? . 所以 P ?Q = ? ,即 P = Q . 因为 P , Q ? A U B ,
7 所以 满足题意的集合对(P,Q)的个数为 2 = 128 .

【2012 北京市丰台区一模理】7.已知 a < b ,函数 f ( x ) = sin x, g ( x ) = cos x. 命题 p : f ( a ) ? f (b) < 0 , 命题 q : g ( x)在( a, b) 内有最值,则命题 p 是命题 q 成立的 A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

【2012 北京市东城区一模理】 若集合 A = {0 , m 2 } ,B = {1 , 2} , “ m = 1 ” “ A U B = {0 , 1 , 2} ” (2) 则 是 的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】A 【2012 北京市东城区一模理】 (9)命题“ ?x0 ∈ (0, ), tan x0 > sin x0 ”的否定是 【答案】 ?x ∈ (0, ), tan x ≤ sin x 【2012 北京市丰台区一模理】8.已知定义在 R 上的函数 y = f ( x) 满足 f ( x + 2) = f ( x ) ,当 ?1 < x ≤ 1 时, f ( x ) = x 3 ,若函数 g ( x ) = f ( x ) ? log a | x | 至少有 6 个零点,则 a A. a = 5或a = ( ) (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

π 2

.

π 2

1 5

B. a ∈ (0, ) U [ 5, +∞ )

1 5

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C. a ∈ [ , ] U [5, 7] 【答案】D

1 1 7 5

D. a ∈ [ , ] U [5, 7]

1 1 7 5

?? x 2 + ax, x ≤ 1, (7)已知函数 f ( x) = ? 若 ?x1 , x2 ∈ R , x1 ≠ x2 ,使得 【2012 北京市海淀区一模理】 x > 1, ?ax ? 1,
f ( x1 ) = f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
(A) a < 2 (C) - 2 < a < 2 (B) a > 2 (D) a > 2 或 a < - 2

【答案】A 【2012 年北京市西城区高三一模理】6.若 a = log 2 3 , b = log 3 2 , c = log 4 6 ,则下列结论正确的是 ( )

(A) b < a < c (B) a < b < c (C) c < b < a (D) b < c < a 【答案】D 【解析】 0 < log 3 2 < 1 , log 2 3 = log 4 9 > log 4 6 > 1 所以 b < c < a ,选 D。

? 1 0 ≤ x ≤ c, ?x2 , 【2012 年北京市西城区高三一模理】 13. 已知函数 f ( x) = ? 其中 c > 0 . 那么 f ( x ) 2 ? x + x, ? 2 ≤ x < 0, ?
的零点是_____;若 f ( x ) 的值域是 [ ? 【答案】 ?1 和 0 , (0, 4] 【解析】当 0 ≤ x ≤ c 时,由 x
1 2

1 , 2] ,则 c 的取值范围是_____. 4

= 0 得, x = 0 。当 ? 2 ≤ x < 0 时,由 x 2 + x = 0 ,得 x = ?1 ,所以函
1

数 零 点 为 ?1 和 0 。 当 0 ≤ x ≤ c 时 , f ( x ) = x 2 , 所 以 0 ≤ f ( x ) ≤

c , 当 ?2≤ x <0 , 1 1 1 1 f ( x ) = x 2 + x = ( x + ) 2 ? ,所以此时 ? ≤ f ( x ) ≤ 2 。若 f ( x ) 的值域是 [ ? , 2] ,则有, c ≤ 2 , 2 4 4 4 即 0 < c ≤ 4 ,即 c 的取值范围是 (0,4] 。 1 1 【2012 北京市门头沟区一模理】14.给出定义:若 m ? ≤ x < m + (其中 m 为整数),则 m 叫离实数 2 2

x 最近的整数,记作 [ x ] = m ,已知 f ( x) = [ x ] ? x ,下列四个命题:
①函数 f ( x ) 的定义域为 R ,值域为 ? 0, ? ; 2 ③函数 f ( x ) 是周期函数,最小正周期为 1; 其中正确的命题是 【答案】①③④ 【2012 北京市朝阳区一模理】6.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x ∈ R , 都有
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? 1? ? ?

②函数 f ( x ) 是 R 上的增函数; ④函数 f ( x ) 是偶函数,



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f ( x + 2) = f ( x ) .当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x) = x 2 .若直线 y = x + a 与函数 y = f ( x ) 的图象在 [0, 2] 内恰
有两个不同的公共点,则实数 a 的值是 A. 0 B. 0 或 ?

1 2

C. ?

1 1 或? 4 2

D. 0 或 ?

1 4

【答案】D 【2012 北京市朝阳区一模理】7. 某工厂生产的 A 种产品进入某商场销售,商场为吸引厂家第一年免收 管理费,因此第一 年 A 种产品定价为每件 70 元,年销售量为 11.8 万件. 从第二年开始,商场对 A 种产品 征收销售额的 x% 的管理费(即销售 100 元要征收 x 元),于是该产品定价每件比第一年 增加了

70 ? x% 元,预计年销售量减少 x 万件,要使第二年商场在 A 种产品经营中收取的 1 ? x% 管理费不少于 14 万元,则 x 的取值范围是 A. 2 B. 6.5 C. 8.8 D. 10

【答案】D

? 1 x 3 x ≥ 2, ?( ) + , 【2012 北京市朝阳区一模理】13.已知函数 f ( x ) = ? 2 若函数 g ( x ) = f ( x ) ? k 有两 4 ? log 2 x, 0 < x < 2. ?
个不同的零点,则实数 k 的取值范围是 【答案】 ( ,1) 【2012 北京市东城区一模理】 (8)已知函数 f ( x) = ? 个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是 (A) ( ?∞,1) 【答案】A (B) ( ?∞ ,1] (C) ( 0,1) (D) [ 0, + ∞ ) .

3 4

? 2? x ? 1, x ≤ 0, 若方程 f ( x ) = x + a 有且只有两 ? f ( x ? 1), x > 0.

1 ? ? ? x + a, x < 2 , ? 【2012 北京市石景山区一模理】12.设函数 f ( x ) = ? 的最小值为 ?1,则实数 a 的取值范 ? log x, x ≥ 1 2 ? 2 ?
围是 【答案】 a ≥ ? .

1 2

【解析】因为当 x ≥

1 1 时 , log 2 x ≥ ?1 , 所 以 要 使 函 数 的 最 小 值 ? 1 , 则 必 须 有 当 x < 时 , 2 2 1 1 f ( x ) = ? x + a ≥ ?1 ,又函数 f ( x ) = ? x + a 单调递减,所以 f ( x ) > ? + a 所以由 ? + a ≥ ?1 得 2 2 1 a≥? 。 2

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