【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学必修二课时作业:第1章 1.1.4]

1.1.4

投影与直观图

课时目标 1.初步了解空间图形平行投影和中心投影的原理,初步理解平行投影的性 质.2.了解空间图形的不同表示形式,会运用斜二测画法的规则画出水平放置的简单空间图 形的直观图.

1.平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平行投影都具有下述性质: (1)直线或线段的平行投影仍是______或______; (2)平行直线的平行投影是______或______的直线; (3)平行于投射面的线段,它的投影与这条线段________且________; (4)与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形________; (5)在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比________这两条线段的比. 2.斜二测画法 运用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,主要步骤如下: (1)在已知图形中取水平平面,作相互垂直的轴__________,使∠xOy=90° ; (2)画直观图时,把轴 Ox,Oy 画成对应的轴____________,使____________(或 135° ), x′O′y′所确定的平面表示水平平面; (3)已知图形中, 平行于______轴、 ______轴的线段在直观图中分别画成平行于 x′轴、 y′ 轴.并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. (4)已知图形中,平行于______轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于______轴的 线段,长度变为原来的一半. (5)画图完成后,擦去作为轴助线的坐标轴,就得到了水平放置的平面图形的直观图. 3.中心投影 一个__________把一个图形照射到一个平面上,这个图形的影子就是它在这个平面上的 中心投影.

一、选择题 1.下列命题正确的是( ) A.矩形的平行投影一定是矩形 B.梯形的平行投影一定是梯形 C.两条相交直线的投影可能平行 D.一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点 2.下列结论: ①角的水平放置的直观图一定是角; ②相等的角在直观图中仍然相等; ③相等的线段在直观图中仍然相等; ④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行. 其中正确的有( ) A.①② B.①④ C.③④ D.①③④ 3. 如图, 正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm, 它是水平放置的一个平面图形的直观图, 则原图的周长是( )

A.8 cm B.6 cm C.2(1+ 3) cm D.2(1+ 2) cm 4.下面每个选项的 2 个边长为 1 的正△ABC 的直观图不是全等三角形的一组是(

)

5.如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的(

)

6.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45° ,腰和上底长均为 1 的等腰梯形, 则该平面图形的面积等于( ) 1 2 2 A. + B.1+ 2 2 2 C.1+ 2 D.2+ 2 二、填空题 7.利用斜二测画法得到: ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形. 以上结论,正确的是______________. 8.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知 A′C′=3,B′C′=2,则 AB 边上的中线的实际长度为____________.

9.如图所示,为一个水平放置的正方形 ABCO,它在直角坐标系 xOy 中,点 B 的坐标为 (2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点 B′到 x′轴的距离为______.

三、解答题 10.试画出底面边长为 1.2 cm,高为 1.5 cm 的正四棱锥的直观图.

11.如图所示,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4 cm,CD=2 cm,∠DAB=30° ,AD= 3 cm,试画出它的直观图.

能力提升 12.已知正三角形 ABC 的边长为 a,求△ABC 的直观图△A′B′C′的面积.

13.在水平放置的平面 α 内有一个边长为 1 的正方形 A′B′C′D′,如图,其中的对 角线 A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该 四边形的真实图形并求出其面积.

1.直观图与原图形的关系 斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁,可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系, 在求直观图的面积时,可根据斜二测画法,画出直观图,从而确定其高和底边等,而求原图 形的面积可把直观图还原为原图形;此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错,在 原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直,反之也是.所以在求面积时应按照斜二测 画法的规则把原图形与直观图都画出来,找出改变量与不变量.用斜二测画法画出的水平放 2 置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的 倍. 4 2.在用斜二测画法画直观图时,平行线段仍然平行,所画平行线段之比仍然等于它的真 实长度之比,但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.

1. 1. 4

投影与直观图

答案

知识梳理 1.(1)直线 线段 (2)平行 重合 (3)平行 等长 (4)全等 (5)等于 2.(1)Ox,Oy (2)O′x′,O′y′ ∠x′O′y′=45° (3)x y (4)x y 3.点光源 作业设计 1.D [因为当平面图形与投射线平行时,所得投影是线段,故 A,B 错.又因为点的平 行投影仍是点,所以相交直线的投影不可能平行,故 C 错.由排除法可知,选项 D 正确.] 2.B [由斜二测画法的规则判断.] 3.A [

根据直观图的画法,原几何图形如图所示,四边形 OABC 为平行四边形,OB=2 2,OA =1,AB=3,从而原图周长为 8 cm.] 4.C [可分别画出各组图形的直观图,观察可得结论.] 5.C 6.D [如图 1 所示,等腰梯形 A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图,作 D′E′∥A′B′ 交 B′C′ 于 E′ , 由 斜 二 测 直 观 图 画 法 规 则 , 直 观 图 是 等 腰 梯 形 A′B′C′D′的原平面图形为如图 2 所示的直角梯形 ABCD,且 AB=2,BC=1+ 2,AD =1,所以 SABCD=2+ 2.]

图1 图2 7.①② 解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因 此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形. 8.2.5 解析 由直观图知,原平面图形为直角三角形,且 AC=A′C′=3,BC=2B′C′=4,

计算得 AB=5,所求中线长为 2.5. 2 9. 2 解析

画出直观图,则 B′到 x′轴的距离为 21 2 2 ·OA= OA= . 2 2 4 2 10.解 (1)画轴.画出 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴, 使∠xOy=45° (或 135° ),∠xOz=90° , 如图(1)

(2)画底面.以 O 为中心,在 xOy 平面内画出正方形直观图 ABCD,使 AB=1.2 cm. (3)画顶点.在 Oz 轴上截取 OP,使 OP=1.5 cm. (4)成图.顺次连接 PA、PB、PC、PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四 棱锥的直观图,如图(2). 11.解 (1)如图 a 所示,在梯形 ABCD 中,以边 AB 所在的直线为 x 轴,点 A 为原点, 建立平面直角坐标系 xOy.如图 b 所示,画出对应的 x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45° . (2)在图 a 中, 过 D 点作 DE⊥x 轴, 垂足为 E. 在 x′轴上取 A′B′=AB=4 cm, A′E′ 3 1 =AE= 3≈2.598 cm;过点 E′作 E′D′∥y′轴,使 E′D′= ED,再过点 D′作 2 2 D′C′∥x′轴,且使 D′C′=DC=2 cm. (3)连接 A′D′、B′C′,并擦去 x′轴与 y′轴及其他一些辅助线,如图 c 所示,则四 边形 A′B′C′D′就是所求作的直观图.

12.解 先画出正三角形 ABC, 然后再画出它的水平放置的直观图, 如图所示.由斜二测画法规则知 3 B′C′=a,O′A′= a. 4 过 A′作 A′M⊥x′轴,垂足为 M, 3 2 6 则 A′M=O′A′· sin 45° = a× = a. 4 2 8

1 1 6 ∴S△A′B′C′= B′C′· A′M= a× a 2 2 8 6 = a2. 16 13.

解 四边形 ABCD 的真实图形如图所示, ∵A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形, ∴∠D′A′C′=∠A′C′B′=45° , ∴在原四边形 ABCD 中, DA⊥AC,AC⊥BC, ∵DA=2D′A′=2, AC=A′C′= 2, ∴S 四边形 ABCD=AC· AD=2 2.


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