第一章极限与连续习题课_图文

求极限的方法:
1。数列的极限: 数列的极限:
1 的结构找出其规律。 ()观察xn 的结构找出其规律。
1 1 ? 1 ? 如 : (a ) lim ? + +L+ ?= n × (n + 1)? n → ∞ ?1 × 2 2 × 3 1? ? 1 1? 1 ?? ?? ?1 lim ?? 1 ? ? + ? ? ? + L + ? ? ?? = 2? ? 2 3? n → ∞ ?? ? n n + 1 ??

1 ? ? lim ?1 ? ? =1 n + 1? n→ ∞ ?
1

x x x (b ) lim cos cos 2 Lcos n = 2 n→ ∞ 2 2 x x x x x cos cos 2 Lcos n ?1 cos n sin n 2 2 2 2 2= lim x n→ ∞ sin n 2 x x x x cos cos 2 Lcos n ?1 sin n ?1 2 2 2 2 lim x n→ ∞ 2 sin n 2 sin x sin x sin x = L = lim = lim = n→∞ n x x x n→ ∞ n 2 sin n 2 n 2 2

2

(2)由极限存在准则: 由极限存在准则: 夹逼定理;单调有界数 夹逼定理; 列必有极限。 列必有极限。 1 2 n ? ? (a ) lim xn = lim ? 2 + 2 + L+ 2 ? n→ ∞ n→ ∞ ? n + n + 1 n + n + 2 n + n + n?
Q 1 n2 + n + n + 2 n2 + n + n +L+ n n2 + n + n = (1 + n)n 1 ≤ xn 2 2 n + n+ n

(1 + n)n 1 = ≤ 2 + 2 + L+ 2 2 n2 + n + 1 n + n+1 n + n+1 n + n+1

1

2

n

(1 + n)n 1 (1 + n)n 1 1 而 lim = lim = 2 2 2 2 n→ ∞ n + n + n n→ ∞ n + n+1 2
3

(b ) 设x1 = 10, xn + 1 = 证:由 x1 = 10及 x2 =

6 + xn ( n = 1 , 2L), 6 + x1 = 16 = 4 知 x1 > x2

试证数列极限存在, 求此极限。 试证数列极限存在,并 求此极限。

则有: 设对某正整数 k 有 xk > xk + 1 , 则有: 由归纳法知, xk + 1 = 6 + xk > 6 + xk + 1 = xk + 2, ∴由归纳法知,
为单调减少数列。 对一切正整数 n, 都有 x n > x n + 1 , 即 { x n }为单调减少数列。 根据准则 又显见 xn > 0, ( n = 1 , 2L) 即 { xn }有下界,根据准则 II 存在。 知 lim xn存在。
再设 lim xn = a , 则有a = 6 + a ( n → ∞ ) ?
n→ ∞

a 2 ? a ? 6 = 0 ? a = 3 或 a = ?2, 但 Q xn > 0 ( n = 1 , 2L),

n→ ∞

舍去, ∴ a = ?2 舍去,得 lim xn = 3 。
n→ ∞

4

(3) 利用极限存在与无穷小 的关系: 的关系: 如 已知 lim ( 2n + 1)an = 1 求 lim na n
n→ ∞
n→ ∞

解 Q ( 2n + 1) an = 1 + α n ( lim α n = 0)
n→ ∞

1+αn n(1 + α n ) n 1 αn ? na n = = + ∴an = 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 1 → ( n → ∞ ). 2 1 另解 : ? lim ( 2 + )nan = 2 lim nan = 1 n n→ ∞ n→ ∞ Q lim ( 2n + 1)an = 1 n→ ∞ 1 所以有: 所以有: lim na n = 2 n→ ∞ 5

6

7

例 当 x → 0 时, 1 + tan x ? 1 与 sin x 比较是 【 无穷小 】

tan x 1 + tan x ? 1 2 =1 解:因为 lim = lim x →0 x →0 sin x x 2 所以题设是同阶无穷小

8

(3) 对某些函数常用分子分 母乘同一共轭因式来将 ∞ ? ∞ “ ”

0 ∞ 等类型化为 ” “ ” “ 或 0 ∞ (4) 利用有界函数与无穷小 的乘积为无穷小
? a0 ?b a0 xn + a1xn?1 +L+ an?1x + an (5) lim = ? 0 ? m m?1 x→∞ b0 x + b x +L+ bm?1x + am ? 0 1 ?∞ ?
m=n
m>n m<n

x ?1 lim (6) 利用变量替换 如: x →1 x ? 1
3
3 令: x = t 2 ? x = t 6

t6 ?1 题设 = lim 3 t →1 t ? 1

9

0 ∞ (7)对“ ”;“ ”型可用罗必塔法则: 型可用罗必塔法则: 0 ∞ f (x) f ′( x ) f ′′( x ) lim = lim = lim = L。 x → x0 g ( x ) x → x0 g ′( x ) x → x0 g ′′( x ) ( x →∞ ) ( x →∞ ) ( x →∞ ) 注:对某些函数 轭因式来将“ 常用分子分母乘同一共 轭因式来将“∞ ? ∞” 0 ∞ 等类型化为 ” “ ”再由罗必塔法则求极限 。 “ 或 0 ∞ (8)对幂指函数类的极限可 利用对数转化: 利用对数转化:
lim f ( x ) g ( x ) = e lim g ( x ) ln f ( x ) , 再由R ? 法则计算。 法则计算。
10

x ? sin x 1? ? 1 例 lim cot x ? ? ? = lim x →0 ? sin x x ? x → 0 x sin x tan x (属于" ∞ ? ∞" 型, 而x ? sin x不能

来替换, 用x ? x来替换,但分母上可以 )
= lim x ? sin x x
3 x →0

(由罗必塔法则) 由罗必塔法则)
= lim
1 = 。 6 x →0 3 x 2
11

= lim

1 ? cos x 3x2

1 2

x2

x →0

注:红之后亦可用罗必达法则

12

13

例 lim

1 + x 2 ? 1 + sin 2 x x (arcsin x )
2 2

x →0

=

x →0
x →0

lim

1 + x 2 ? 1 + sin 2 x x4 2 2 x ? sin x
=

=

lim

x 4 ( 1 + x 2 + 1 + sin 2 x )

1 ( x ? sin x )( x + sin x ) lim = 2 x →0 x3 x
x →0

lim

x ? sin x x
3

=

x →0

lim

1 ? cos x 3x2

1 = lim = 2 6 x →0 6 x
14

x

2

2 tan x ? x sec x ? 1 例 lim = lim = x → 0 x ? sin x x → 0 1 ? cos x

2 sec 2 x tan x lim =2 sin x x →0

x 1 x ln x ? ( x ? 1) ) = lim 例 lim ( ? = x →1 x ? 1 ln x x →1 ( x ? 1) ln x 1 ln x + 1 ? 1 x =1 lim = lim x ? 1 x →1 1 1 2 x →1 + 2 ln x + x x x
15



1 lim [ x (e x x → +∞

? 1)] = lim

1 ex

x → +∞

?1 = lim x = 1 1 x → +∞ 1 x x

1

例 设 lim

= 2, x →0 ? x2 c ln(1 ? 2 x ) + d (1 ? e )
其中a + c ≠ 0, 则必有L ( D)。
2 2

a tan x + b(1 ? cos x )

( A) b = 4d ( B ) b = ?4d (C )

a = 4c

(D)

a = ?4c
16

a tan x + b(1? cos x ) a tan x + b(1 ? cos x ) x = lim Q lim 2 x →0 ? x2 c ln(1 ? 2 x ) + d (1 ? e ) x → 0 c ln (1? 2 x )+ d (1? e ? x ) x x2 tan x + b 1? cos x a tan x + b 2 a x x x lim x = = lim = x →0 x →0 ? x2 ?2x ? d ? x2 ln (1? 2 x ) c x c + d 1? e x x x

a ? = 2 ? a = ?4c。 2c
17

18

一、函数的连续性 1, lim ?y = 0
?x → 0

2, lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0

二、间断点的分类 1. 第一类间断点:f ( x0 + 0), f ( x0 - 0 )都存在, 第一类间断点: 都存在, 都存在
若 f ( x0 + 0 ) = f ( x0 ? 0 ) 则 x0 为可去间断点 若 f ( x0 + 0 ) ≠ f ( x0 ? 0 ) 则 x0 为跳跃间断点

2. 不是第一类间断点的称为第二类间断点。 不是第一类间断点的称为第二类间断点。
若 lim f ( x ) = ∞ 则称 x0 为无穷间断点
1 振荡间断点如: 振荡间断点如: lim sin ( x ? x0 ) x → x0
x → x0

19

sin ax ? x<0 ? 1 ? cos x ? b x=0 例 设 : f ( x) = ? ?1 [ln x ? ln( x 2 + x )] x > 0 ?x ?
a , b取什么值时 ,
f ( x )在x = 0 处连续。 处连续。

20

解:lim f ( x ) = lim
x →0?

x → 0?

sin ax 1 ? cos x

= lim

ax

x →0?

ax = lim = ? 2a 2 x →0? ? x x 2 2

lim f ( x ) = lim 1 [ln x ? ln( x 2 + x )] = x → 0+ x → 0+ x 1 lim {? ln(1 + x ) x } = ?1
x → 0+

2 Q f (0) = b ∴ ? 2a = b = ?1 ? b = ?1, a = + 2
21

tan x + x 例 求 : f ( x) = 在 ( ? 1, π ) 内的间断点及类型 ln(1 + x )

sin x ) 解:间断点 x = 0 , x = (Q tan x = 2 cos x tan x + x tan x + x lim = lim =2 x → 0 ln(1 + x ) x→0 x x = 0 为第一类可去间断点

π

tan x + x lim =∞ π π ln( 1 + x ) x→ x = 为第二类无穷间断点
2

2

22

三,连续函数的性质 最值定理: 和最小值。 (1)最值定理:闭区间上 的连续函数必有最大值 和最小值。
有界性定理: 函数。 (2)有界性定理:闭区间 上的连续函数必为有界 函数。 零点定理: (3)零点定理:若 y = f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 且f (a ) f ( b ) < 0
则至少存在一点 ξ ∈ (a , b ) , 使得 f (ξ ) = 0 。 介值定理: (4)介值定理:若 y = f ( x ) 在 [a , b] 上连续, m , M 分别是 y = f ( x ) 在 [a , b ] 上的最大和最小值,则 ? c , m ≤ c ≤ M 上的最大和最小值, 必存在ξ ∈ [a , b], 使得 f (ξ ) = c。
(5)基本初等函数在其定 义域上连续 ,

上连续。 初等函数在其定义区间 上连续。
23

在区间( )内有根。 例 证明方程 xe = 2 在区间(0,1)内有根。
x

其在[0, 1]上连续 证:作 F ( x ) = xe ? 2,
x

F 又: (0) = ?2 < 0,

F(1) = e ? 2 > 0

由零点定理, 由零点定理

? ξ ∈ ( 0, 1), 使 F (ξ ) = 0,

内有根。 即 xe = 2 在 ( 0,1)内有根。
x
24

25

为周期为2的连续函数 证明在每个长度为1 的连续函数,证明在每个长度为 例 设 f ( x ) 为周期为 的连续函数 证明在每个长度为 至少有一个实根。 的闭区间上,方程 的闭区间上 方程 f ( x) ? f ( x ? 1) = 0 至少有一个实根。

证:设在 [a , a + 1] 上,F ( x ) = f ( x ) ? f ( x ? 1) 连续

F (a) = f (a) ? f (a ? 1) F(a + 1) = f (a + 1) ? f (a) = f (a ? 1) ? f (a)
(i) f (a ) ? f (a ? 1) ≠ 0 F (a )F (a + 1) < 0

?ξ ∈ (a , a + 1), F (ξ ) = 0 即 f ( x ) ? f ( x ? 1) | x =ξ = 0
(i i) f (a ) ? f (a ? 1) = 0 则 a , a + 1均为F ( x )的零点, 上至少有一个实根。 即方程在[a , a + 1]上至少有一个实根。
26

在区间( )内有根。 例 证明方程 xe x = 2 在区间(0,1)内有根。
上连续, 例 设 f ( x ) 在 [0, 2a ] 上连续,且 f (0) = f ( 2a ),

则 ?ξ ∈ [0, a ],使 f (ξ ) = f (ξ + a ) 。

为周期为2的连续函数 的连续函数, 例 设 f ( x ) 为周期为 的连续函数, 证明在每个长度为1的闭区间上, 证明在每个长度为 的闭区间上, 的闭区间上 至少有一个实根。 方程 f ( x) ? f ( x ? 1) = 0 至少有一个实根。
27


相关文档

第一章 极限与连续习题课
第1章 极限与连续习题课
第一章 习题课-函数、极限与连续
第一章-极限与连续-习题课
第一章 函数、极限与连续 习题课
微积分第一章极限连续习题课
第2章 习题课(极限与连续性)
第一章习题课求极限的方法
第二章极限与连续性习题课
高等数学 习题课1-1 极限与连续
电脑版