2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 计时双基练29 数列的概念及其函数特征 理 北师大版

计时双基练二十九 数列的概念及其函数特征

A 组 基础必做

1.下列公式可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是( )

A.an=1

B.an=

- n+1 2

C.an=2-???sin

nπ 2

???

D.an=

- n-1+3 2

解析

由 an=2-???sin

nπ 2

???可得 a1=1,a2=2,a3=1,a4=2,…。

答案 C

2.数列{an}的前 n 项积为 n2,那么当 n≥2 时,an=( )

A.2n-1

B.n2

n+ 2 C. n2

n2 D. n- 2

解析

设数列{an}的前 n 项积为 Tn,则 Tn=n2,当 n≥2 时,an=TTn-n 1=

n2 n-

2。

答案 D

3.已知数列{an},an=2n2-10n+3(n∈N+),则它的最小项是( )

A.2 或 4

B.3 或 4

C.2 或 3

D.4

解析 an=2???n-52???2-129,故当 n=2 或 3 时,an 最小。
答案 C

4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m(m,n∈N+)且 a1=6,那么 a10=( )

A.10

B.60

C.6

D.54

解析 由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9=S10,又由于 a10=S10-S9=S1=a1=6,故 a10=6。 答案 C

5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1,则满足ann≤2 的正整数 n 的集合为(

)

A.{1,2}

B.{1,2,3,4}

C.{1,2,3}

D.{1,2,4}

解析 因为 Sn=2an-1,所以当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-1,两式相减得 an=2an-2an-1, 整理得 an=2an-1,所以数列{an}是公比为 2 的等比数列,又因为 a1=2a1-1,解得 a1=1, 故数列{an}的通项公式为 an=2n-1。而ann≤2,即 2n-1≤2n,所以有 n=1,2,3,4。

答案 B

6.数列{an}满足 a1=2,an=aann+ +11- +11,其前 n 项积为 Tn,则 T2 016=(

)

A.2

B.1

C.3

D.-6

解析 由 an=aann+ +11- +11,得 an+1=11+-aann,而 a1=2,

则有 a2=-3,a3=-12,a4=13,a5=2,

故数列{an}是以 4 为周期的周期数列,且 a1a2a3a4=1, 所以 T2 016=(a1a2a3a4)504=1504=1。

答案 B

7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3-3×2n,n∈N*,则 an=________。

解析 分情况讨论:

①当 n=1 时,a1=S1=3-3×21=-3; ②当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3-3×2n)-(3-3×2n-1)=-3×2n-1。 综合①②,得 an=-3×2n-1。 答案 -3×2n-1

8.数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N+),则数列 {an}的通项公式 an=________。
解析 a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把 n 换成 n -1 得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减得(2n-1)an=(n- 1)·3n+1-(n-2)·3n=(2n-1)·3n,故 an=3n。
答案 3n

9.在一个数列中,如果? n∈N*,都有 anan+1an+2=k(k 为常数),那么这个数列叫做等 积数列,k 叫做这个数列的公积。已知数列{an}是等积数列,且 a1=1,a2=2,公积为 8,则 a1+a2+a3+…+a12=________。
解析 依题意得数列{an}是周期为 3 的数列,且 a1=1,a2=2,a3=4,因此 a1+a2+a3 +…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28。

答案 28

10.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6。

(1)这个数列的第 4 项是多少?

(2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?

(3)该数列从第几项开始各项都是正数?

解 (1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6。

(2)令 an=150,即 n2-7n+6=150,n2-7n-144=0。解得 n=16 或 n=-9(舍去), 即 150 是这个数列的第 16 项。 (3)令 an=n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍)。 ∴从第 7 项起各项都是正数。 11.已知 Sn 为正项数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn=12a2n+12an(n∈N*)。 (1)求 a1,a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式。 解 (1)由 Sn=12a2n+12an(n∈N*),可得 a1=12a21+12a1,解得 a1=1; S2=a1+a2=12a22+12a2,解得 a2=2; 同理,a3=3,a4=4。 (2)Sn=12a2n+12an,① 当 n≥2 时,Sn-1=12a2n-1+12an-1,② ①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0。 由于 an+an-1≠0, 所以 an-an-1=1, 又由(1)知 a1=1, 故数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,故 an=n。
B 组 培优演练 1.对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当 an+1>|an|(n=1,2,…)时, ∵|an|≥an,∴an+1>an,∴{an}为递增数列。当{an}为递增数列时,若该数列为-2,0,1, 则 a2>|a1|不成立,即知 an+1>|an|(n=1,2,…)不一定成立。故综上知,“an+1>|an|(n= 1,2,…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件。 答案 B 2.(2015·河北石家庄调研)如图,一个类似杨辉三角的数阵,则第 n(n≥2)行的第 2

个数为________。 1
33 565 7 11 11 7 9 18 22 18 9
… 解析 由题意可知:图中每行的第二个数分别为 3,6,11,18,…,即 a2=3,a3=6,a4 =11,a5=18,…,∴a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,…,an-an-1=2n-3,∴累加得: an-a2=3+5+7+…+(2n-3),∴an=n2-2n+3。 答案 n2-2n+3
3.已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)???78???n,则当 an 取得最大值时,n 等于________。 解析 由题意知???an≥an-1,
??an≥an+1,

?? n+ ???78???n

? ?? n+

???78???n

n+ ???87???n-1, n+ ???87???n+1。

解得?????nn≤≥65,。

∴n=5 或 6。

答案 5 或 6

4.已知数列{an}中,an=1+a+

1 n-

(n∈N*,a∈R,且 a≠0)。

(1)若 a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;

(2)若对任意的 n∈N*,都有 an≤a6 成立,求 a 的取值范围。



(1)∵an=1+a+

1 n-

(n∈N*,a∈R,且 a≠0),

又∵a=-7,∴an=1+2n1-9。

结合函数 f(x)=1+2x1-9的单调性,

可知 1>a1>a2>a3>a4, a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*)。 ∴数列{an}中的最大项为 a5=2,最小项为 a4=0。

(2)an=1+a+

1 n-

1 2 =1+n-2-2 a。

∵对任意的 n∈N*,都有 an≤a6 成立,
1 2 结合函数 f(x)=1+x-2-2 a的单调性,

知 5<2-2 a<6,∴-10<a<-8。

故 a 的取值范围为(-10,-8)。


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