高中数学北师大版必修二2.3.3【教学课件】《空间两点间的距离公式》_图文

北京师范大学出版社 | 必修二 第二章 · 解析几何初步 空间两点间的距离公式 北京师范大学出版社 | 必修二 新课导入 我们知道,数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x1-x2|; 平面直角坐标系中,两点的距离是 = 间的距离呢? ( ? ) + ( ? ) , 同学们想一下,在空间直角坐标系中,如果已知两点的坐标,如何求它们之 北京师范大学出版社 | 必修二 探索新知 (1)长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A,C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c,那么对角线长 d= 2 + 2 + 2 北京师范大学出版社 | 必修二 注意: 1.就推导过程而言,其应用了把空间长度向平面长度转化 的思想,即通过构造辅助平面,将空间问题降维到平面中 处理。 2.就公式而言,该公式可概括为:长方体的对角线长的平 方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 北京师范大学出版社 | 必修二 (2)两点间的距离公式 空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离 = 注意: ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) ①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。 a.当空间中的任意两点P1,P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时,此公式可转化 为平面直角坐标系中的两点间的距离公式; b.当空间中的任意两点P1,P2落在同一坐标轴上时,则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。 ②空间任意一点P(x0,y0,z0)与原点的距离 = + + 北京师范大学出版社 | 必修二 质疑答辩,发展思维 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2, 点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N在D1C上且为D1C中点,求M、 N两点间的距离。 北京师范大学出版社 | 必修二 如图分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。 由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0), ∵|DD1|=|CC1|=|AA1|=2, ∴C1(3,3,2),D1(0,3,2), ∵N为CD1的中点,∴N ( ,, ) M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点, ∴M(1,1,2)。 由两点间距离公式,得 = ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) = 北京师范大学出版社 | 必修二 思考:怎么求空间两点间的距离? 解:求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公 式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐 标。确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转 化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直 角坐标系的知识确定。 北京师范大学出版社 | 必修二 例题讲解 例1 已知△ABC的三个顶点A(1,5,2),B(2,3,4),C(3,1,5)。 求△ABC中最短边的边长。 解:由空间两点间距离公式得: = ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) = = = ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) = ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) = ∴△ABC中最短边是BC,其长度为 6 北京师范大学出版社 | 必修二 例2 在z 轴上求一点使得它到点A(4,5,6)与到点B(-5,0,10) 的距离相等。 解:由题意可知,设该点的坐标P为(0,0,z), 则 = = ? + ? + ? ( ? ? ) + ( ? ) + ( ? ) 又|PA|=|PB|,所以z=6, 所以所求点的坐标为(0,0,6)。 北京师范大学出版社 | 必修二 巩固练习 1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为面A1B1C1D1的中心, 求证:AP⊥PB1(用坐标法)。 解析:如图所示, 建立空间直角坐标系。 北京师范大学出版社 | 必修二 以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),B1(1,1,1),P( , ,) ,由两点间的距离 公式,可得 = ? + ? + ? = = ? + ? + ? = = ∴AP⊥PB1 ? + ? + ? = ∴|AP|2+|PB1|2=|AB1|2, 北京师范大学出版社 | 必修二 2.已知点P 到坐标原点的距离等于2,且它的x坐标、y坐标、z 坐标均相等,求该点的坐标。 解: 由题意可知P点的坐标为(x,y,z)。 所以 0 = x 2 + 2 + z 2 = 2 3 又x=y=z,所以 3x 2 = 2 3 所以x=y=z=2或x=y=z=-2。 所以该点的坐标为(2,2,2)或(-2,-2,-2)。 北京师范大学出版社 | 必修二 课堂小结 (1)长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A,C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c,那么对角线长 d= 2 + 2 + 2 北京师范大学出版社 | 必修二 (2)两点间的距离公式 空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离 = 注意: ( ? ) + ( ? ) + ( ? ) ①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。 a.当空间中的任意两点P1,P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时,此公式可转化 为平面直角坐标系中的两点间的距离公式; b.当空间中的任意两点P1,P2

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