《创新设计》2018-2019学年高一数学人教B版必修4:1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 课件_图文

人教B版必修4 第一章 基本初等函数(Ⅱ) 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 在初中几何里,我们学习过角的度量, 1度的角是怎样定义的呢? 1 周角的 为1度的角。 360 这种用1?角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ,今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。 1、圆心角、弧长和半径之间的关系: 角是由射线绕它的端点旋转而成的,在旋 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧, 不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的, 但都对应同一个圆心角。 AB A?B? ? =定值, r r? 设α =n?, AB 弧长为l,半径OA为r, 2? r l 2? , ? n? 则 l ? n? , 360 r 360 可以看出,等式右端不含 半径,表示弧长与半径的 比值跟半径无关,只与α的 大小有关。 结论:可以用圆的半径作单位去度量角。 2、定义: 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角,弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。 注:今后在用弧度制表示角的时候,弧度二字 或rad可以略去不写。 3、弧度制与角度制相比: (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制,角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制;1弧度≠1?; (2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 1 心角的大小,而1度是圆周 的所对的圆心 360 角的大小; (3)弧度制是十进制,它的表示是用一个实 数表示,而角度制是六十进制; (4)以弧度和度为单位的角,都是一个与 半径无关的定值。 l 4、公式: ?? r , 表示的是在半径为r的圆中,弧长为l的 弧所对的圆心角是α rad。 5、弧度制与角度制的换算 ① 用角度制和弧度制度量角,零角既是0? 角,又是0 rad角,同一个非零角的度数和 弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数: 平角=? rad、周角=2? rad. ③ 正角的弧度数是正数,负角的弧度数是 负数,零角的弧度数是0. l ④ 角?的弧度数的绝对值: ? ? r (l为弧长,r为半径) ⑤ ∵ 360?=2? rad ,∴180?=? rad ∴ 1? = ? 180 rad ? 0.01745rad 180 ? ? 1 rad ? ? ? ? 57.30 ? 57 18' ? ? ? 6、用弧度制表示弧长及扇形面积公式: ① 弧长公式: l ? r ? ? l 由公式:? ? ? l ? r ? ? r n?r 比公式 l ? 简单. 180 弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数) 的绝对值与半径的积. 1 ② 扇形面积公式 S ? lR 2 其中l是扇形弧长,R是圆的半径。 证明:设扇形所对的圆心角为n? (αrad),则 n 1 2 S ??R ? ? R ?? 360 2 2 又 αR=l,所以 1 S ? lR 2 证明2:因为圆心角为1 rad的扇形面积是 ? R2 1 2 ? R 2? 2 l 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad. 1 所以它的面积是 S ? lR 2 例1、(1) 把112?30′化成弧度(精确到0.001); (2)把112?30′化成弧度(用π 表示)。 解: (1)112?30′=112.5?, 1? ? ? 180 ? 0.0175 所以112?30′≈112.5×0.0175≈1.969rad. (2) 112?30′=112.5× ? 180 = 5? . 8 8? 例 2、 把 化成度。 5 解:1rad= ( 180 ? )? 8? 8? 180 ? ?( )? 5 5 ? ? 288? 例3、填写下表: 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 弧度 0 135° ? 6 150° ? 4 180° ? 3 210° ? 2 225° 2? 3 240° 角度 弧度 3? 4 270° 5? 6 300° π 315° 330° 360° 角度 弧度 3? 2 2π 例4、扇形AOB中, AB 所对的圆心角是 60? ,半径是50米,求 AB 的长l(精确到 0.1米)。 ? 解:因为60? = 3 ,所以 ? 3×50≈52.5 . l=α· r= 答: AB 的长约为52.5米. 例5、在半径为R的圆中,240?的中心角所对 的弧长为 的中心角等于 ,面积为2R2的扇形 弧度。 4 解:(1)240? = ? ,根据l=αR,得 3 1 2 1 (2)根据S= lR= αR ,且S=2R2. 2 2 4 l ? ?R 3 所以 α=4. 例6、与角-1825? 的终边相同,且绝对值最 小的角的度数是___,合___弧度。 解:-1825? =-5×360? -25? , 所以与角-1825? 的终边相同,且绝对值 最小的角是-25? . 5 合 ? 36 ? 例7、已知一半径为R的扇形,它的周长等于 所在圆的周长,那么扇形的中心角是多少弧 度?合多少度?扇形的面积是多少? 解:周长=2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R. 所以扇形的中心角是2(π-1) rad. 合( 360(? ? 1) ? )? 2 扇形面积是 (? ? 1) R

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