第二十一讲:平面向量的概念

平面向量的概念、基本定理及坐标表示(高三)
1.向量的有关概念 名称 向量 零向量 单位向量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量 2. 向量的线性运算 向量运 算 定义 法则 (或几何意义) 运算律 定义 既有大小又有方向的量; 向量的大小叫作向 量的长度(或称模) 长度为零的向量;其方向是任意的 长度等于 1 个单位的向量 方向相同或相反的非零向量 方向相同或相反的非零向量又叫作共线向 量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等,不能比较大小 0 的相反向量为 0 0 与任一向量平行或共线 备注 平面向量是自由向量 记作 0 a 非零向量 a 的单位向量为± |a|

交换律: 加法 求两个向量和的 运算 a+b=b+a. 结合律: (a+b)+c=a+(b+c).

求 a 与 b 的相反向 减法 量-b 的和的运算 叫作 a 与 b 的差 三角形法则 |λa|=|λ||a|;当 λ>0 时,λa 的方 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运算 向与 a 的方向相同; 当 λ<0 时, λa 的方向与 a 的方向相反;当 λ=0 时,λa=0 3. 共线向量定理 a 是一个非零向量,若存在一个实数 λ,使得 b=λa,则向量 b 与非零向量 a 共线. 4. 平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 a,存在唯一一对实 数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共线的向量 e1,e2 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb a-b=a+(-b)

题型一

平面向量的概念辨析

例 1 给出下列命题: → → ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边 形的充要条件;③若 a=b,b=c,则 a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是________. 1、下列命题中正确的是 A.a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点 C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 2、若 a=“向东走 8 km”,b=“向北走 8 km”,则|a+b|=________;a+b 的方向是________. ( )

题型二

向量的线性运算及基本定理应用

→ → → 1→ → 例 2 如图,以向量OA=a,OB=b 为邻边作?OADB,BM= BC,CN 3 1→ → → → = CD,用 a,b 表示OM,ON,MN. 3 思维启迪:结合图形性质,准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.

探究提高 (1)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的 三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果. → → → → → 1、在△ABC 中,AB=c,AC=b,若点 D 满足BD=2DC,则AD等于( 2 1 A. b+ c 3 3 5 2 B. c- b 3 3 2 1 C. b- c 3 3 1 2 D. b+ c 3 3 )

→ 1→ → → 2→ 2、如图,在△ABC 中,AN= NC,P 是 BN 上的一点,若AP=mAB+ AC, 3 11 则实数 m 的值为_________________.

3、如图所示,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点.过点 O 的直线分别交 → → → → 直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 m+n 的值 为________.

题型三

共线向量定理及应用

例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线, → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 思维启迪:解决点共线或向量共线的问题,要结合向量共线定理进行.

专项基础训练
1. 给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; ③λa=0 (λ 为实数),则 λ 必为零; ④λ,μ 为实数,若 λa=μb,则 a 与 b 共线. 其中错误命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C ( ) ( )

→ → → 2. 设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则 → → A.PA+PB=0 → → C.PB+PC=0 → → B.PC+PA=0 → → → D.PA+PB+PC=0

3. 已知向量 a,b 不共线,c=ka+b (k∈R),d=a-b.如果 c∥d,那么 A.k=1 且 c 与 d 同向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 B.k=1 且 c 与 d 反向 D.k=-1 且 c 与 d 反向答案 D )

(

)

→ → → 4. (2011· 四川)如图,正六边形 ABCDEF 中,BA+CD+EF等于( A.0 → C.AD → B.BE → D.CF

5.已知 AB 、 AC 是非零向量且满足 AB ? 2 AC ? AB , AC ? 2 AB ? AC ,则 ?ABC 的形状是 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 → → → 6. 设 a、b 是两个不共线向量,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b,若 A、B、D 三点共线,则实 数 p 的值为________. → → → → → 7. 在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则MN=____________(用 a,b 表示). A.等腰三角形

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8. 给出下列命题: → → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; → → ④向量AB与向量CD是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上. 其中不正确的个数为________. 解析 命题①③正确,②④不正确.

→ |AC| → 2→ 1→ 9. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足OC= OA+ OB,则 =________. 3 3 |AB| → → → 10. 设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A、B、C 三点共线, 则的最小值为______. 11.已知点 G 是△ABO 的重心,M 是 AB 边的中点. → → → (1)求GA+GB+GO; 1 1 → → → → (2)若 PQ 过△ABO 的重心 G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证: + =3. m n


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