高三文科数学一轮复习-平面向量4-4


第4讲
A级

平面向量应用举例
满分:55 分)

基础演练(时间:30 分钟

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.(2012· 西安模拟)已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中 x∈(0,π).若|a· b| =|a||b|,则 tan x 的值等于 A.1 C. 3 解析 由|a· b|=|a||b|知,a∥b. B.-1 2 D. 2 ( ).

所以 sin 2x=2sin2x,即 2sin xcos x=2sin2x,而 x∈(0,π), π 所以 sin x=cos x,即 x=4,故 tan x=1. 答案 A

2.(2013· 九江模拟)若|a|=2sin 15° ,|b|=4cos 15° 与 b 的夹角为 30° ,a ,则 a· b 的值是 3 A. 2 C.2 3 解析 答案 B. 3 1 D.2 ( ).

3 3 a· b=|a||b|cos 30° =8sin 15° 15° 2 =4×sin 30° 2 = 3. cos × × B

π π 3.(2012· 哈尔滨模拟)函数 y=tan4x-2的部分图象如图所示,则 → → AB → (OA+OB)· = A.4 C.1 解析 由条件可得 B(3,1),A(2,0), B.6 D.2 ( ).

→ → → → → → → → → ∴(OA+OB)· =(OA+OB)· -OA)=OB2-OA2=10-4=6. AB (OB 答案 B

4.在△ABC 中,∠BAC=60° ,AB=2,AC=1,E,F 为边 BC 的三等分点, → AF → 则AE· = 5 A.3 10 C. 9 解析 法一 5 B.4 15 D. 8 → 1 C → 依题意,不妨设BE= E→,BF=2F→, C 2 ( ).

→ → 1 → → → 2→ 1→ 则有AE-AB=2(AC-AE),即AE=3AB+3AC; → → → → → 1 B 2 C AF-AB=2(AC-AF),即AF=3A→+3A→. → AF ?2 → 1 →? ?1 → 2 →? → ? 所以AE· =?3A B +3A C ?·3A B +3A C ? ? ?? ? 1 =9(2A→+AC)·→ +2A→) B → (AB C 1 → → → AC → =9(2A B 2+2A C 2+5A B · ) 1 5 =9(2×22+2×12+5×2×1×cos 60° 3,选 A. )= 法二

由∠BAC=60° ,AB=2,AC=1 可得∠ACB=90° , ? 2 3 ? ? 3 ? 如图建立直角坐标系,则 A(0,1),E?- ,0?,F?- 3 ,0?, 3 ? ? ? ? 2 ?? ? ? 2 3? ? 3 3? → AF ? 2 3 → ?· ? ?= ? ?· ? ?+(-1)· ∴AE· =?- (-1)=3+ 3 ,-1? ?- 3 ,-1? ?- 3 ? ?- 3 ? ?

5 1=3,选 A. 答案 A

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2013· 温州适应性测试)在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=2,AD=1,∠ → BD → BAD=60° 为 CD 的中点,则AE· =________. ,E 解析 1 → BD ? → 1 → ? (BA → → → 1 C (AD → → AE · =?AD+2DC? ·→ +BC )=(AD + 2 D → )·→ -DC )=AD 2 - 2 ? ?

→ AD 1 → → DC· - DC2=1- 2 1 1 3 ×1×2cos 60° 2×4=-2. - 2 答案 3 -2

6.(2013· 东北三校一模)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, → AC → 若(3b-c)cos A=acos C,S△ABC= 2,则BA· =________. 解析 依题意得(3sin B-sin C)cos A=sin Acos C,

即 3sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B>0, 1 2 2 于是有 cos A=3,sin A= 1-cos2A= 3 , 1 1 2 2 又 S△ABC=2· bcsin A=2bc× 3 = 2, 1 → AC → 所以 bc=3,BA· =bccos(π-A)=-bccos A=-3×3=-1. 答案 -1

三、解答题(共 25 分) 7. 分)已知圆 C: (12 (x-3)2+(y-3)2=4 及点 A(1,1), 是圆 C 上的任意一点, M → 点 N 在线段 MA 的延长线上,且MA=2A→,求点 N 的轨迹方程. N 解 → 设 M(x0,y0)、N(x,y).由MA=2A→,得 N

?x0=3-2x, (1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),∴? ?y0=3-2y. ∵点 M(x0,y0)在圆 C 上,

∴(x0-3)2+(y0-3)2=4, 即(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4.∴x2+y2=1. ∴所求点 N 的轨迹方程是 x2+y2=1. 8.(13 分)(2012· 北京海淀模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b, → AC → BC → → c,若AB· =BA· =k(k∈R). (1)判断△ABC 的形状; (2)若 c= 2,求 k 的值. → AC → → BC → 解 (1)∵AB· =cbcos A,BA· =cacos B, → AC → BC → → 又AB· =BA· ,∴bccos A=accos B, ∴sin Bcos A=sin Acos B, 即 sin Acos B-sin Bcos A=0,∴sin(A-B)=0, ∵-π<A-B<π,∴A=B,即△ABC 为等腰三角形. b2+c2-a2 c2 → AC → (2)由(1)知,AB· =bccos A=bc· 2bc = 2 =k, ∵c= 2,∴k=1. B级 能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2012· 安庆二模)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对应的三角形 → 的边长,若 4aBC+2bC→+3cA→=0,则 cos B=( A B ).

11 A.-24 29 C.36 解析

11 B.24 29 D.-36

由 4aB→+2bC→+3cA→=0,得 C A B

→ → 4aB→+3cA→=-2bC→=-2b(BA-BC)=2bA→+2bB→, C B A B C 所以 4a=3c=2b.

b2 4 2 + b -b2 a +c -b 4 9 11 由余弦定理得 cos B= 2ac = =-24. b2 2··b 23
2 2 2

答案

A

2.(2013· 郑州三模)△ABC 的外接圆圆心为 O,半径为 2,O→+AB+AC=0, A → → → → → → 且|OA|=|AB|,则CA在CB方向上的投影为 A.1 C. 3 解析 B.2 D.3 如图, 由题意可设 D 为 BC 的中点, → 由OA ( ).

→ → → +AB +AC =0,得OA +2A → =0,即 A → = D O → 2A→,∴A,O,D 共线且|A→|=2|AD|,又 O D O 为△ABC 的外心,∴AO 为 BC 的中垂线, → → → → ∴|AC|=|AB|=|OA|=2,|AD|=1, → → → ∴|CD|= 3,∴CA在CB方向上的投影为 3. 答案 C

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.已知向量 a=(x-1,2),b=(4,y),若 a⊥b,则 9x+3y 的最小值为________. 解析 若 a⊥b,则 4(x-1)+2y=0,即 2x+y=2.

9x+3y=32x+3y≥2× 32x+y=2× 32=6. 1 当且仅当 x=2,y=1 时取得最小值. 答案 6

1 1 4. (2013· 山西大学附中月考)已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)=3x3+2|a|x2 +a· 在 R 上有极值,则 a 与 b 的夹角范围为________. bx 解析 由题意得: f′(x)=x2+|a|x+a· 必有可变号零点, Δ=|a|2-4a· b 即 b>0,

1 即 4|b|2-8|b|2cos〈a,b〉>0,即-1≤cos〈a,b〉<2.所以 a 与 b 的夹角范 ?π ? 围为?3,π?. ? ?

答案

?π ? ?3,π? ? ?

三、解答题(共 25 分) 5.(12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,向量 m=(2sin B, B ? ? - 3),n=?cos 2B,2cos2 2 -1?且 m∥n. ? ? (1)求锐角 B 的大小; (2)如果 b=2,求 S△ABC 的最大值. 解 B ? ? (1)∵m∥n,∴2sin B?2cos2 2 -1?=- 3cos 2B, ? ?

∴sin 2B=- 3cos 2B,即 tan 2B=- 3. 2π π 又 B 为锐角,∴2B∈(0,π),∴2B= 3 ,∴B=3. a2+c2-b2 π (2)∵B=3,b=2,由余弦定理 cos B= 2ac ,

得 a2+c2-ac-4=0.又 a2+c2≥2ac,代入上式, 得 ac≤4(当且仅当 a=c=2 时等号成立). 1 3 S△ABC=2acsin B= 4 ac≤ 3(当且仅当 a=c=2 时等号成立),即 S△ABC 的最 大值为 3. x ? ? 6.(13 分)(2012· 南通模拟)已知向量 m=? 3sin 4,1?, ? ? x x? ? n=?cos 4,cos2 4?. ? ? ?2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? 3 -x?的值; ? ? (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 (2a-c)cos B=bcos C,求函数 f(A)的取值范围. 解 x x x (1)m· n= 3sin 4· 4+cos2 4 cos

x 1+cos 2 3 x ? x π? 1 = 2 sin 2+ =sin?2+6?+2, 2 ? ?

? x π? 1 ∵m· n=1,∴sin?2+6?=2. ? ? ? π? ? x π? 1 cos?x+3?=1-2sin2?2+6?=2, ? ? ? ? 1 ?2π ? ? π? cos? 3 -x?=-cos?x+3?=-2. ? ? ? ? (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1 π 2π ∴cos B=2,∵0<B<π,∴B=3,∴0<A< 3 . π A π π ?A π? ?1 ? ∴6< 2 +6<2,sin? 2 +6?∈?2,1?. ? ? ? ? ? x π? 1 ?A π? 1 又∵f(x)=sin?2+6?+2,∴f(A)=sin? 2 +6?+2. ? ? ? ? 3? ? 故函数 f(A)的取值范围是?1,2?. ? ?


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