【优化指导】2016-2017学年高中数学 第一章 三角函数章末测评 北师大版必修4

第一章测评
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若-<α <0,则点 P(tan α ,cos α )位于( A.第一象限 C.第三象限 答案:B 3.函数 f(x)=sin 是( A.周期为 4π 的奇函数 解析:周期 T==4π . ) B.周期为 π 的偶函数 B.第二象限 D.第四象限 )

解析:由于 α 是第四象限角,所以 tan α <0,cos α >0,因此,点 P 在第二象限.

C.周期为的奇函数 D.周期为 2π 的偶函数

∵f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=sin=-sin=-f(x), ∴f(x)=sin 为奇函数.
故选 A. 答案:A 4.(2016 安徽淮南高三模拟)若|cos θ |=cos θ ,|tan θ |=-tan θ ,则的终边在( A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限或在 x 轴的非负半轴上 D.第二、四象限或在 x 轴的非负半轴上 解析:由题意知,cos θ ≥0,tan θ ≤0,所以 θ 的终边在 x 轴的非负半轴上或在第四象限,故的终 边在第二、四象限或在 x 轴的非负半轴上. 答案:D 5.函数 y=的定义域为( A.(-4,-π ] C.[-3,0] ) B.[-π ,-3] D.[0,+∞) )

解析:要使函数有意义,需满足 即解得-4<x≤-π . 答案:A 6.函数 y=sin(ω x+φ )(x∈R,ω >0,0≤φ <2π )的部分图像如图所示,则( )

A.ω =,φ = C.ω =,φ =

B.ω =,φ = D.ω =,φ =

1

解析:由图像得,T=4×(3-1)=? ω =.

f(1)=sin=1? +φ =2kπ +(k∈Z),
又 0≤φ <2π ,故 φ =. 答案:C 7.下列函数中,最小正周期为 π ,且图像关于直线 x=对称的是( A.y=sin(2x+6) C.y=sin 项符合要求. 答案:C 8.某市绿化委员会为了庆祝国庆节,要在道路的两侧摆放花卉,其中一侧需摆放红、黄、紫、白四 种颜色的花,并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放,那么第 2 015 盆花的颜色 为( A.红色 ) B.黄色 C.紫色 D.白色 B.y=sin D.y=sin )

解析:B 选项中函数的最小正周期是 4π ,不合题意;当 x=时,C 项中的函数 y=sin 能取到最大值,故 C

解析:因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放,所以以 4 为一个周期,则 2 015÷4=503……3,即 2 015 为 503 个周期余 3,所以第 2 015 盆花的颜色为紫色. 答案:C 10.

(2015 北京高一检测)已知 f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当 0<x<3 时,f(x)的图像如图所示,那 么不等式 f(x)cos x<0 的解集为( A.∪(0,1)∪ B.∪(0,1)∪ C.∪(0,1)∪(1,3) D.(-3,-1)∪(0,1)∪(1,3) 答案:B 12.(2016 广东深圳高三模拟)已知函数 f(x)=sin 的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰 好在圆 x +y =k 上,则 f(x)的最小正周期是( A.1 B.2
2 2 2 2 2 2

)

) D.4
2 2

C.3

解析:由题意可知点在圆 x +y =k 上,所以+() =k ,解得 k=±2.此时,函数 f(x)的最小正周期是

T==2|k|=4.
答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.sin+cos·tan 4π -cos= 答案:0

.

解析:原式=-sin+cos·0-cos=-sin-cos=sin-cos=0.

2

14.在扇形中,已知半径为 8,弧长为 12,则圆心角是 答案: 48 15.函数 y=sin,x∈的值域是 解析:∵x∈,

弧度,扇形面积是

.

解析:设圆心角为 θ ,则有 θ =弧度;扇形面积 S=×12×8=48.

.

∴≤x+, ∴≤sin≤1,
即原函数的值域为. 答案: 16.已知函数 f(x)=sin 2x,给出下列五个说法:

①f; ②若 f(x1)=-f(x2),则 x1=-x2; ③f(x)在区间上递增; ④将函数 f(x)的图像向右平移个单位可得到函数 y=cos 2x 的图像; ⑤函数 f(x)的图像关于点成中心对称.
其中说法正确的是 (填序号). 解析:①正确,由已知得函数 f(x)周期为 π ,f=fsin;

②错误,由 f(x1)=-f(x2)=f(-x2),知 x1=-x2+kπ 或 x1=+x2+kπ (k∈Z); ③错误,令-+2kπ ≤2x≤+2kπ (k∈Z),得-+kπ ≤x≤+kπ (k∈Z),
函数 f(x)在每一个闭区间 (k∈Z)上都递增, 但(k∈Z), 故函数 f(x)在区间上不是单调函数;

④正确,将函数 f(x)的图像向右平移个单位可得到函数 y=sin 2sincos 2x 的图像; ⑤错误,函数 f(x)的对称中心的横坐标满足 2x0=kπ ,解得 x0=,
即对称中心的坐标为(k∈Z), 故点不是其对称中心. 答案:①④ 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知 sin(α -3π )=2cos(α -4π ),求的值. 解:∵sin(α -3π )=2cos(α -4π ),

∴-sin(3π -α )=2cos(4π -α ), ∴-sin(π -α )=2cos(-α ), ∴sin α =-2cos α ,由此可知 cos α ≠0. ∴原式==-.
18.(12 分)已知函数 f(x)=3tan. (1)求 f(x)的定义域; (2)比较 f 与 f 的大小.

3

解:(1)由已知得 2x-≠kπ +(k∈Z),x≠kπ +(k∈Z),所以 f(x)的定义域为. (2)因为 f=3tan=-3tan<0,f=3tan=3tan=3tan=3tan>0.所以 f<f. 19.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )x∈R,A>0,ω >0,|φ |<的部分图像如图所示.

(1)试确定 f(x)的解析式; (2)若 f,求 cos 的值. 解:(1)由题图可知 A=2,,则 T=2,ω ==π . 将点 P 代入 y=2sin(π x+φ ), 得 sin=1,又|φ |<,所以 φ =. 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(x∈R). (2)由(1)和 f,得 2sin, 即 sin. 所以 cos=cos

=-sin=-.
20.(12 分) 导学号 03070074 如果关于 x 的方程 sin x-(2+a)sin x+2a=0 在 x∈上有两个实数根,求 实数 a 的取值范围. 解:sin x-(2+a)sin x+2a=0, 即(sin x-2)(sin x-a)=0.
2 2

∵sin x-2≠0,∴sin x=a,
因此此题转化为求在 x∈上,sin x=a 有两个实数根时 a 的取值范围. 由 y=sin x,x∈与 y=a 的图像(图略)知≤a<1. 故实数 a 的取值范围是. 21.(12 分)已知函数 f(x)=2sin+a+1(其中 a 为常数). (1)求 f(x)的单调区间. (2)若 x∈时,f(x)的最大值为 4,求 a 的值. (3)求出使 f(x)取最大值时 x 的取值集合. 解:(1)由-+2kπ ≤2x++2kπ (k∈Z), 解得-+kπ ≤x≤+kπ (k∈Z). 所以函数 f(x)的单调增区间为(k∈Z). 由+2kπ ≤2x++2kπ ,k∈Z, 解得+kπ ≤x≤+kπ (k∈Z). 所以函数 f(x)的单调减区间为(k∈Z). (2)因为 0≤x≤,所以≤2x+,

4

所以-≤sin≤1, 所以 f(x)的最大值为 2+a+1=4,所以 a=1. (3)当 f(x)取最大值时,2x++2kπ ,k∈Z, 所以 2x=+2kπ ,k∈Z,所以 x=+kπ ,k∈Z. 所以当 f(x)取最大值时,x 的取值集合是. 22.(12 分) 导学号 03070075(2016 四川德阳高中检测)如图,函数 y=2cos(ω x+θ )的图像与 y 轴相 交于点(0,),且该函数的最小正周期为 π . (1)求 θ 和 ω 的值. (2)已知点 A,点 P 是该函数图像上一点,点 Q(x0,y0)是 PA 的中点,当 y0=,x0∈时,求 x0 的值.

解:(1)将 x=0,y=代入函数 y=2cos(ω x+θ ),得 cos θ =, 因为 0≤θ ≤,所以 θ =. 由已知 T=π ,且 ω >0,得 ω ==2. (2)因为点 A,Q(x0,y0)是 PA 的中点,y0=,所以点 P 的坐标为. 又因为点 P 在 y=2cos 的图像上,且≤x0≤π , 所以 cos, 且≤4x0-, 从而得 4x0-或 4x0-, 即 x0=或 x0=.

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