青海省青海师大附中2010-2011高一上学期期中考试 数学

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青海师大附中 2010—2011 学年度上学期高一期中考试

数 学 试 题
命题人:冶有良 审题人:吴晓红 满分 150 分,时间为 120 分钟 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) . 1. 若集合 M={a,b,c},M 中元素是三角形 ABC 的变长,则 ABC 一定不是 ( (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形 2.设集合 P = {1, 2,3, 4} , Q = x x ≤ 2, x ∈ R ,则 P I Q 等于 (A) {1, 2} (B) {3, 4} (C) {1}



{

}





(D) {?2, ?1, 0,1, 2} ( (D) ( ,2) )

3.函数 f (x ) 的定义域为 [0,3] ,则 f ( 2 x ? 1) 的定义域是 (A) [ ,2] 4 . 设 ( a,b )

1 2

(B) [0,3] ,

(C) [ ?1,5]

1 2

( c,d ) 都 是

f ( x) 的 单 调 增 区 间 , 且
) (D)不能确定

x1 ∈ ( a, b), x 2 ∈ (c, d ), x1 < x 2, 则 f ( x1 )与f ( x 2 ) 的大小关系为 (
(A) f ( x1 ) < f ( x 2 ) (B) f ( x1 ) > f ( x 2 ) (C) f ( x1 ) = f ( x 2 ) )

5.奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) 的图像必定经过点 ( (A) ( a, f ( ? a )) (C) ( ? a,? f ( a ))

(B) ( ? a, f ( a )) (D) ( a, f ( ))

1 a

6 . 若 函 数 y = a x + b ? 1( a > 1且a ≠ 1) 的 图 像 经 过 第 二 三 四 象 限 , 则 一 定 有 ( ) (B) a > 1, 且b > 0 (D) a < 1, 且b > 0 )

(A) 0 < a < 1, 且b > 0 (C) 0 < a < 1, 且b < 0 7.设 lg 2 = a , lg 3 = b ,则 log 5 12 = (

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(A)

2a + b 1+ a

(B)

2a + b 1? a


(C)

a + 2b 1+ a

(D)

a + 2b 1? a
1 2 且a ≠ ) 2 3

8.下列函数中指数函数的个数是(

y = 3x ;
(A)0

y = x3 ;

y = ?3 x ; y = x x ; y = (6a ? 3) x (a >
(C)2 ) (B) y = ( ) x ? 1( x ∈ R ) (D) y = 2 x ?1 ( x ∈ R )
2

(B)1
2

(D)3

9.函数 y = 1 + log 1 x 的反函数是( (A) y = 2 ? 1( x ∈ R )
x

1 2

(C) y = 21? X ( x ∈ R ) 10.函数 f ( x ) = ( m 2 ? m ? 1) x m m=( (A)2 (D)5 ) (B)3
? 2 m ?3

是幂函数,且在x ∈ (0,+∞ ) 上是减函数,则实数
(C)4

11 . 函 数 f ( x ) = ax 2 + bx + c, 若f (1) > 0, f ( 2) < 0, 则f ( x )在( ,2)上 零 点 的 个 数 为 1 ( ) (A)至多有一个 (B)有一个或两个 (C)有且仅有一个 (D)一个也没有 12.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增 长越来越慢, 若要建立恰当的函数模型来反映改公司调整后利润与时间的关系, 可选用 ( ) (A)一次函数 (B)二次函数 (C)指数型函数 (D)对数型函数 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 y=

1 的定义域是 log 3 (3 x ? 2)
x 2 ? 2 x ?3



?1? 14. y = ? ? ?2?

的值域是
2



15.若函数 y = ( x ? 1) + 2ax + 1 在区间 ( ?∞, 4 ) 上递减,则 a 的取值范围为 16.若 log a x = 2, log b x = 3, log c x = 6, 则 log abc x的值为 。



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题共两小题,每小题 5 分,共 10 分 ) (1)已知集合 A={x|

2x ? 3 ≤0}, B={x|x2-3x+2<0}, U=R,求( x+5

uA)∩

B.

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(2)计算

2 lg 2 + lg 3 . 1 1 1 + lg 0.36 + lg 8 2 3

18. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x ) = lg(3 + x ) + lg(3 ? x ). (1)求函数 f (x ) 的定义域。 (2)判断函数 f (x ) 的奇偶性。

19.解下列方程(本题共两小题,每小题 6 分,共 12 分) (1) log ( x + 3) ( x + 3 x ) = 1
2

(2) lg( 2 x ) × lg(3 x ) = lg 2 × lg 3

20. (本题满分 12 分) 已知 a,b 为常数,且 a ≠ 0, f ( x ) = ax + bx, f ( 2) = 0, 方程 f ( x ) = x 有两个相等的实
2

根。 (1)求函数 f (x ) 的解析式; (2)若 F ( x ) = f ( x ) ? f ( ? x ), 试判断F ( x ) 的奇偶性,并证明。

21. (本题满分 12 分) 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上, 游回产地产卵, 研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示
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为函数 v =

1 O log 3 , 单位是 m / s, 其中O 表示鱼的耗氧量的单位数, 2 100

(1)当一条鱼的行氧量是 2700 个单位时,它的游速是多少? (2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数。

22. (本题满分 14 分) 已知 f ( x ) =

1 ?1 . x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)判断并用定义证明函数 f ( x ) 的单调性; (3)求函数 f ( x ) 的反函数.

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参考答案
题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 D 5 C 14. ? , 3? 2 6 C 7 B 8 C 15. 9 C 10 A 11 C 12 D 16.1

13. {x x >

2 且x ≠ 1} 3

?3 ?

? ?

a ≤ ?3

17. (1) ( ,2) ; (2) 1 . 18.解: (1)由题意得

3 2

(3 + x) > 0且(3 ? x). > 0
解得 ? 3 < x < 3 所以定义域为 {x ? 3 < x < 3} (2) f ( ? x ) = lg(3 ? x ) + lg(3 + x ) = f ( x ) 所以次函数为偶函数 19.解: (1) x=1 20.解: (1)由 f ( 2) = 0 得 (2) x = 1或x =

1 6

f ( 2) = 4a + 2b = 0
又因为 方程 f ( x ) = x 有两个相等的实根,所以

? = (b ? 1) 2 = 0
解得 b=1 a= ?

1 2

1 f ( x) = ? x 2 + x 2 1 1 (2) F ( x ) = f ( x ) ? f ( ? x ) = ? x 2 + x ? [ ? ( ? x ) 2 + ( ? x )] 2 2 = 2x 1 1 F (? x) = f (? x) ? f ( x) = ? (? x) 2 + (? x) ? (? x 2 + x) 2 2 = ?2 x
所以函数解析式为 所以 F ( ? x ) = ? F (x ) 21.解: (1)由题意得
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即函数 F (x ) 为奇函数。

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v=

1 2700 3 log 3 = (m / s) 2 100 2
答:当一条鱼的行氧量是 2700 个单位时,它的游速是

3 (m / s) 2

A. 当一条鱼静止时,即 v=0,则

0=

1 O log 3 2 100 解得 O = 100
答:当一条鱼静止时耗氧量的单位数是 100.

22.解: (1)由

1 ? 1 ≥ 0 得定义域为 ( 0,1] . x

(2) f ( x ) 在 ( 0,1) 内单调递减,证明如下.

设 0 < x1 < x2 ≤ 1 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) =

1 1 ?1 ? ?1 = x2 x1

x1 ? x2 x2 x1 1 1 ?1 + ?1 x2 x1

<0.

即 f ( x2 ) < f ( x1 ) .这就是说函数 f ( x ) 在 ( 0,1] 上单调递减. (3)令 y =

1 1 1 ?1 ? 1 ,解得 x = ( y ≥ 0) ,即 f ( x ) = (x≥0) . 2 x 1+ y 1 + x2

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