高三数学一轮复习基础巩固课件:第1讲 集合及其运算_图文

双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第1讲 集合及其运算

考试说明

1.了解集合的含义. 2.理解集合的表示. 3.理解集合间的基本关系. 4.理解集合的基本运算.

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第1讲
双 向 固 基 础

集合及其运算

1.集合的含义与表示方法 元素 ,把一些元素组成 (1)集合的含义:把研究对象叫作________ 无序性 、 确定性 、 的总体叫作________ 集合元素的性质: ________ ________ 集合 . 互异性 . ________ ∈ (2)元素与集合的关系:①属于,记为________ ;②不属于, ? 记为________ . 描述法 和________ 列举法 、________ 图示法 . (3)集合的表示方法:________ N* ,整 (4)常用数集的记号:自然数集______ ,正整数集______ N Z , Q R C . 数集______ 有理数集______ , 实数集______ , 复数集______

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第1讲
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集合及其运算

2.集合的基本关系
表示 关系 子 集 基 真 本 子 关 集 系 相 等 空集 文字语言
元素 集合 A 的________ 都是集合 B 的元素 集合 A 是集合 B 的 子集,但集合 B 中 至少 有 一 个 元 ________ 素不属于 A 集合 A, B 的元素完 全________ 相同 ________ 子集 任 何 元 素 的集合. 空集是任何 集合 A 的_______ 不含

符号语言 x∈A?x∈B

记法 A?B 或 B?A ________

A B A?B,?x0∈B,________ x0?A 或B A

A?B,B?A?A A=B ________ =B ?x,x??,??A ?

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第 1讲
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集合及其运算

3.集合的基本运算
表示 运算 交集 文字语言 符号语言 图形语言 记法

且 属 属 于 集 合 A______ 且 {x|x∈A, __ 于集合 B 的元素组成的 x∈B} 集合
或 属 属 于 集 合 A______ 于集合 B 的元素组成的 集合 不 属于 全集 U 中______ 集合 A 的元素组成的集 合

A∩B ________

并集

{x|x∈A, ___ 或 x∈B}

________ A∪B

补集

{x|x∈U, x______ ? A}

?UA ________

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集合及其运算

—— 链接教材 ——
1.[教材改编] 已知 A={2,4,6,8,10},B={3,5, 6,8,12},则有 A∩B=________.

[答案] {6,8}
[解析] 根据交集运算的定义可得.

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集合及其运算

2.[教材改编] 集合 A={平行四边形},B={矩形},C= { 正 方 形 } , 则 A ∪ B = ____________ , A ∩ C = _____________________________________________________ ___________________.

[答案] A

C

[解析] 根据平行四边形、 矩形、 正方形的概念以及 集合的并集、交集运算可得.

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集合及其运算
? ?2x+y=3, ? ? ?3x-2y=8

3.[教材改编] ________.

方程组

的解构成的集合是

[答案] {(2,-1)}
[解析] 方程组的解集是坐标平面上的点,所以正 确表示为{(2,-1)}.

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集合及其运算

4.[教材改编] 集合问题中的部分常见结论: (1)A∩B = A ? A ? ________ ; A∪B = A ? B ? ________;A∩B=A∪B?A=________. (2)?U(A∪B)=(?UA)∩________; ?U(A∩B)=(?UA)∪________.

[答案] (1)B A B

(2)(?UB) (?UB)

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集合及其运算

[解析] (1)根据韦恩图分析可知,当 A?B 时,显然 A∩B=A;当 A∩B=A 时,对任意 x∈A,有 x∈(A∩B), 得 x∈B, 即 x∈A?x∈B, 故 A?B; 当 B?A 时, 显然 A∪B =A; 当 A∪B=A 时, 对任意 x∈B, 有 x∈(A∪B), 得 x∈A, 即 x∈B?x∈A,即 B?A. (2)设 x∈?U(A∪B), 则 x?(A∪B), 得 x?A 且 x?B, 即 x∈ ? UA 且 x∈?UB , 即 x∈(?UA)∩(?UB) , 即 ?U(A∪B) ? (?UA)∩(?UB);反之,当时 x∈(?UA)∩(?UB)时,得 x∈?UA 且 x∈?UB,得 x?A 且 x?B,即 x?(A∪B),得 x∈?U(A∪B), 即?U(A∪B)?(?UA)∩(?UB). 根据集合相等的定义得?U(A∪B) =(?UA)∩(?UB).同理可证第二个结论成立.

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集合及其运算

—— 疑 难 辨 析 ——
1.集合问题中的易错易混点 已知集合 A={x|y=x2}, B={y|y=x2}, C={(x, y)|y=x2}, 则 A=B=C.( )

× [解析] 集合 A 是函数 y=x2 的定义域,即 A= (-∞,+∞);集合 B 是函数 y=x2 的值域,即 B=[0,+ ∞);集合 C 是满足方程 y=x2 的实数 x,y 的集合,也可 以看作是函数 y=x2 图像上的点组成的集合,因此这三个 集合互不相等.

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集合及其运算

2.集合问题中的两个难点 (1)[2013· 山东卷改编] 已知集合 A={0,1,2},则 集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 9.( )
× [解析]逐个列举可得.当 x=0,y=0,1,2 时, x-y=0,-1 或-2;当 x=1,y=0,1,2 时,x-y=- 1,0 或 1;当 x=2,y=0,1,2 时,x-y=2,1 或 0.根 据集合元素的互异性可知集合 B 中的元素为-2, -1, 0, 1,2,共 5 个.

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(2)含有 n 个元素的集合的子集个数是 2n,真子集 个数是 2n-1,非空真子集的个数是 2n-2.( )

√ [解析]可用不完全归纳法得到结果. 当 n=1 时, 有 2 个子集;当 n=2 时,有 4=22 个子集;当 n=3 时, 有 8=23 个子集.以此类推,可得结论正确.

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集合及其运算

3.解决集合问题的方法技巧 (1)[2013?福建卷改编] 若集合 A={1,2,3},B={1, 3,4},则 A∩B 的子集个数为 3.( )

× [解析]利用列举法,由于 A∩B={1,3},所以 子集为?,{1},{2},{1,2},共 4 个.

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集合及其运算

(2)[2013?辽宁卷改编]已知集合 A={ x |0<log4 x <1},B={ x | x≤2},则 A∩B=(1,2].( )

√ [解析]集合 A={x|1<x<4},B={x|x≤2},画出 数轴可知 A∩B={x|1<x≤2}.

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? 探究点一 集合的基本概念的理解
点 面 讲 考 向

例 1 (1)[2013?全国卷] 设集合 A={1,2,3},B ={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素 的个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)已知集合 A={a,b,2},B={2,b2,2a},且 A ∩B=A∪B,则 a=________.

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[思考流程](1)分析:用直接法求解.推理:分别取 a=1,2,3,b=4,5,求 x=a+b.结论:根据集合中元素 的互异性得结论. (2)分析:先确定集合 A,B 的关系.推理:再根据元 素的互异性列关于 a, b 的方程组. 结论: 解方程组得出 a, b 的值.
[答案] (1)B 1 (2)0 或 4

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[解析] (1)1,2,3 与 4,5 分别相加可得 5,6,6, 7,7,8,根据集合中元素的互异性可得集合 M 中有 4 个 元素. (2)由 A∩B=A∪B 知,A=B.又根据集合中元素的互 ? 1 ?a=2a, ?a=b2, ?a=4, ? ? ? a = 0 , ? 2 异性, 所以有?b=b , 或?b=2a,解得? 或? ? ?b=1 ?a≠b ?a≠b, ?b=1, ? ? 2 ? 1 故 a=0 或 . 4

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点 面 讲 考 向

[归纳总结](1)明确集合的类型是数集、 点集还是其他 集合.(2)解决集合问题时,要检验集合的元素是否满足互 异性.(3)元素与集合是“属于(不属于)关系”,集合与集 合是“包含(相等或不包含)关系”,不要在这些关系中用 错符号,如“∈(?)”与“?(?)”等.

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变式题 (1)已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A, 则 m 的值为( ) 3 A.1 B.- 2 3 3 C.1 或- D.-1 或 2 2 (2)若集合 M={x|kx2+2x+1=0}的子集只有两个, 则实 数 k=________.

[答案]

(1)B (2)0 或 1

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[解析] (1)因为 3∈A,所以 m+2=3 或 2m2+m=3. 当 m+2=3,即 m=1 时,2m2+m=3,此时集合 A 中有 重复元素 3,所以 m=1 不符合题意,舍去;当 2m2+m=3 3 3 时, 解得 m=- 或 m=1(舍去). 当 m=- 时, 符合题意. 故 2 2 3 m=- . 2 (2)因为集合 M 的子集只有两个,所以 M 中只有一个 1 元素.当 k=0 时,x=- ,符合题意;当 k≠0 时,Δ=22 2 -4k=0,得 k=1,符合题意.综上可知 k=0 或 1.

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? 探究点二 集合间基本关系的认识
点 面 讲 考 向

例 2 (1)已知集合 A={x|log2x≤3},B=(-∞,k), 若 A?B,则实数 k 的取值范围是( ) A.k<8 B.k≤8 C.k>8 D.k≥8 (2)[2012· 湖北卷] 已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x ∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的 集合 C 的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

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[思考流程] (1)分析: 化简集合 A.推理: 用数轴表示 A, B.结论:根据 A?B 得出结论. (2)分析:化简集合 A,B.推理:根据 A?C?B 求集合 C.结论:根据集合 C 得出子集个数.

[答案] (1)C (2)D

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[解析](1)由 log2x≤3 得 0<x≤8,所以 A{x|0<x≤8}, 而 B=(-∞,k),由于 A?B(如图所示),得 k>8.
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(2)解一元二次方程 x2-3x+2=0,得 x=1 或 2,所 以 A = {x|x2 - 3x + 2 = 0 , x∈R} = {1 , 2} ,易知 B = {x|0<x<5,x∈N}={1,2,3,4}.因为 A?C?B,所以 根据子集的定义,集合 C 必须含有元素 1,2,且可能含 有元素 3,4,故原题即为求集合{3,4}的子集的个数, 即 22=4.

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集合及其运算

点 面 讲 考 向

[归纳总结](1)涉及集合间关系的问题,必须优先考 虑空集的情况,否则会造成漏解. (2)当已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条 件转化为元素或区间端点间的关系, 进而转化为参数所满 足的关系.常用数轴、Venn 图来直观地解决这类问题.

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集合及其运算

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2013· 永州一模] 设集合 A={1},B={x|x2 -2x<0},则下列正确的是( ) A.A=B B.A∩B=? C.B?A D.A?B (2)[2013· 焦 作 一 模 ] 设 集 合 A = {x|2≤x≤6} , B = {x|a≤x≤a+3},若 B?A,则实数 a 的取值范围是( ) A.[2,3] B.(3,+∞) C.[2,+∞) D.(1,3)
[答案] (1)D (2)A
[解析] (1)由题意可知, 集合 B={x|x2-2x<0}=(0, 2), 而 A={1},所以 A?B. ? ?2≤a, (2)因为 B?A,所以? 解得 2≤a≤3. ? ?a+3≤6,
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集合及其运算

? 探究点三 集合的基本运算的求解
点 面 讲 考 向

例 3 (1)[2013· 湖北卷] 已知全集 U={1,2,3,4, 5}, 集合 A={1, 2}, B={2, 3, 4}, 则 B∩(?UA)=( ) A.{2} B.{3,4} C.{1,4,5} D.{2,3,4,5} (2)[2013· 广东四校联考] 设集合 P={3,log2a},Q ={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=( ) A.{0,3} B.{0,2,3} C.{0,1,3} D.{0,1,2,3}
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集合及其运算

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[思考流程](1)分析:判断元素与集合的关系.推理: 求出集合 B 和集合 ?UA. 结论:根据推理的结果求 B ∩ (?UA). (2) 分析:从 P∩Q = {0} 入手讨论元素与集合的关 系. 推理: 求出 a, b 的值, 确定集合 P, Q.结论: 求出 P∪Q.

[答案] (1)B

(2)C

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集合及其运算

点 面 讲 考 向

[解析] (1)因为全集 U={1,2,3,4,5},集合 A= {1,2},则由补集的定义可知?UA={3,4,5}.又因为集 合 B={2,3,4},所以集合 B∩(?UA)={2,3,4}∩{3,4, 5}={3,4}. (2)由 P∩Q={0}知,0∈P 且 0∈Q.由 0∈P,得 log2 a =0,所以 a=1.由 0∈Q,得 b=0.故 P∪Q={0,1,3}.

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集合及其运算

点 面 讲 考 向

[归纳总结](1)在进行集合的运算时, 若集合中的元素 是离散的,则用 Venn 图表示;若集合中的元素是连续的 实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (2)下面的五个等价关系会使运算简化:A?B,A∩B =A,A∪B=B,(?UA)?(?UB),A∩(?UB)=?.

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点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2013· 萍乡一模] 已知全集 U={1, 2, 3, 4, 5},集合 A={1,2,5},?UB={2,5},则 A∩B=( ) A.{1} B.{1,2} C.{1,2,5} D.{1,3,4} (2)[2013· 安徽江南十校联考] 已知集合 A={x|x2-x< 0}, 函数 f(x)=2-x(x∈A)的值域为 B, 则(?RA)∩B=( ) A.(1,2] B.(1,2) C.[0,1] D.(1,+∞)
[答案] (1)A (2)B

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点 面 讲 考 向

[解析] (1)由题意可知 B={1, 3, 4}, 所以 A∩B={1}. (2) 因为 A={x|x2-x<0}=(0,1),所以?RA=(-∞,0]∪[1, +∞), 当 0<x<1 时, 1<2-x<2, 所以 B=(1, 2), 所以(?RA)∩B =(1,2).

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集合及其运算

思想方法1

利用小题大做的方法解决集合创新型问题

多 元 提 能 力

母题 [2013· 湖南卷] 对于E={a1,a2,?,a100}的子 集X={ai1,ai2,?,aik},定义X的“特征数列”为x1, x2,?,x100,其中xi1=xi2=?=xik=1,其余项均为0.例 如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0,?, 0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于 ________; (2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,?,p100满足 p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征数 列”q1,q2,?,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j ≤98,则P∩Q的元素个数为________.
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多 元 提 能 力

子题 (1)写出{a1,a3,a5}的“特征数列”; (2)若集合E的子集P的“特征数列”为p1,p2,?, p100,满足p1=1,pi+pi+1=1(1≤i≤99),求子集P; (3)若集合E的子集Q的“特征数列”为q1,q2,?, q100,满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1(1≤j≤98),求子集Q; (4)在(2)(3)的条件下,求P∩Q中元素的个数.

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[答案] (1)由题知,{a1,a3,a5}的“特征数列”为 1, 0,1,0,1,0,0,0,?,0. (2)子集 P 的“特征数列”为 1,0,1,0,?,1,0. 所以 P={a1,a3,a5,?,a99}. 多 (3)子集 Q 的“特征数列”为 1,0,0,1,0,0,?, 元 0,0,1.所以 Q={a ,a ,a ,?,a ,a }. 1, 1 4 7 97 100 提 能 (4)由(2)(3)得 P∩Q={a1,a7,a13,?,a97},共有 17 力 个元素.

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多 元 提 能 力

[方法解读] 解决以集合为背景的新定义问题, 要抓住 两点:(1)紧扣新定义,分析新定义的特点,把新定义所叙 述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之 中, 这是解新定义型问题的关键所在; (2)合理使用集合的 性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解新定义型集合 问题的基础,也是突破口.在解题时要善于从试题中发现 可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运 算与性质.

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集合及其运算

【备选理由】 分类讨论思想是一种重要的数学思想,是历年来高考 考查的重点.所选的两个例题,通过对参数的讨论,可以 进一步提高集合的运算能力,加深对集合关系的理解.

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第1讲

集合及其运算

例 1 [配例 2 使用] [2013?上海卷] 设常数 a∈R,集合 A= {x|(x-1)( x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若 A∪B=R,则 a 的取 值范围为( ) A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞)

教 师 备 用 题

[解析]B 当 a≥1 时, A={x|x≤1 或 x≥a}, 若 A∪B ? ?a≥1, =R, 则有? 解得 1≤a≤2; 当 a<1 时, A={x|x≤a ? a - 1 ≤ 1 , ? ? ?a<1, 或 x≥1},若 A∪B=R,则有? 解得 a<1. ? ?a-1≤a, 所以 a 的取值范围是(-∞,2].

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例 2 [ 配例 2 使用] 已知集合 A= {x|x2 +4x =0 , x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R,x∈R}, 若 B?A,求实数 a 的取值范围.

教 师 备 用 题
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教 师 备 用 题

解:因为 A={0,-4},所以 B?A 有以下三种情况: (1)当 B=A 时,B={0,-4},由此知 0 和-4 是方程 x2+ 2(a+1)x+a2-1=0 的两个根,由根与系数之间的关系,得 Δ =4(a+1)2-4(a2-1)>0, ? ? ?-2(a+1)=-4, 解得 a=1. 2 ? ?a -1=0, (2)当 B≠?时, 由 B?A 得 B={0}或 B={-4}, 并且 Δ=4(a +1)2-4(a2-1)=0, 解得 a=-1,此时 B={0},满足题意. (3)当 B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0, 解得 a<-1. 综上所述,所求实数 a 的取值范围是(-∞,-1]∪{1}.

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[规律解读] 解决以集合为背景的新定义问题,要抓 住两点:(1)紧扣新定义,分析新定义的特点,把新定义 所叙述的问题的本质弄清楚, 并能够应用到具体的解题过 程之中,这是解新定义型问题的关键所在;(2)合理使用 集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解新定义 型集合问题的基础, 也是突破口. 在解题时要善于从试题 中发现可以使用集合性质的一些因素, 在关键之处用好集 合的运算与性质.
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