高中数学奥林匹克训练试卷附答案

数学奥林匹克 第一天 一、设实数 a、b、c 满足 a ? 2b ? 3c ? 2 2 2 3 ?a ?b ?c ,求证: 3 ? 9 ? 27 ? 1 2 二、设 D 是 ?ABC 的边 BC 上的一点, 点 P 在线段 AD 上, 过点 D 作一直线分别与线段 AB、 PB 交于点 M、E,与线段 AC、PC 的延长线交于点 F、N。如果 DE=DF, 求证:DM=DN 2 三、 (1)是否存在正整数的无穷数列 {an } ,使得对任意的正整数 n 都有 an ?1 ? 2an an?2 。 2 (2)是否存在正无理数的无穷数列 {an } ,使得对任意的正整数 n 都有 an ?1 ? 2an an?2 。 四、给定大于 2004 的正整数 n,将 1、2、3、…、 n 分别填入 n×n 棋盘(由 n 行 n 列方格 构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少 2004 个方格内所填的数, 且大于它所在列至少 2004 个方格内所填的数, 则称这个方格为 “优格” 。 求棋盘中“优格”个数的最大值。 2 第二天 五、已知不等式 2(2a ? 3) cos(? ? 恒成立,求 a 的取值范围。 六、设点 D 为等腰 ?ABC 的底边 BC 上一点,F 为过 A、D、C 三点的圆在 ?ABC 内的弧上 一点,过 B、D、F 三点的圆与边 AB 交于点 E。求证: CD ? EF ? DF ? AE ? BD ? AF 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛) ,每支 球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场 比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果 4 周内能够完成全部比赛,球 n 的最大 值。 注:A、B 两队在 A 方场地举行的比赛,称为 A 的主场比赛,B 的客场比赛。 ? 4 )? 6 ? ?? ? 2sin 2? ? 3a ? 6 对于 ? ? ?0, ? sin ? ? cos ? ? 2? 八、求满足 x ? y y ? z z ?u 、 u? 10 的 所 有 四 元 有 序 整 数 组 ? ? ? 0 , 且 1 ? x、 y、 z x? y y ? z z ?u ( x, y , z , u )的个数。 11 (答案) 一、 解: 由柯西不等式, (a ? 2b ? 3c) ? ( 1 ? 2 ? 3 ) ( 1a) ? ( 2b) ? ( 3c) 2 2 2 2 2 2 ? 2 ??9 所以, a ? 2b ? 3c ? 3 ,所以 3?a ? 9?b ? 27?c ? 3 3 3?( a?2b?3c) ? 3 3 3?3 ? 1 二、证明: AP DE MB ? ? ? 1(1) , PD EM BA AC FN DP ? ? ? 1(2) , 对 ?AFD 和直线 NCP 用梅涅劳斯定理得: CF ND PA AB MD FC ? ? ? 1(3) 对 ?AMF 和直线 BDC 用梅涅劳斯定理得: BM DF CA A DE FN MD ? ? ? 1 ,又 DE=DF, (1) (2) (3)式相乘得: EM ND DF DM DN P ? 所以有 , DM ? DE DN ? DE 对 ?AMD 和直线 BEP 用梅涅劳斯定理得: 所以 DM=DN。 B M D F C N 三、解: (1)假设存在正整数数列 {an } 满足条件。 2 an ?1 ? 2an an ? 2 , an ? 0, ? an 1 a 1 a ? a ? ? n?1 ? 2 ? n ?2 ? ... ? n?2 ? 2 , n ? 3, 4,...., an?1 2 an?2 2 an?3 2 a1 又 a a2 1 a 1 a ? 2?2 ? 2 , 所以有 n ? n?2 ? 2 对 n=2,3,4,…成立。 a1 2 a1 an?1 2 a1 ?a ? ?a ? 1 ? ? 2 ? ? an ?2 ? ... ? ( n?2) ? ( n?3) ?...?1 ? ? 2 ? 2 ? a1 ? ? a1 ? 2 n?2 ? 1 a ? 1 ? an ? ? n ? 2 ? 2 ? an ?1 ? ( n ?2) ? ( n?3) a1 ? 2 ?2 ? a2 ? a2 ? 所以 an ? ? n2 ?2 ? ?2 ? n ?1 2 ? 1 a1n?2 。 2 设 a2 ?[2k , 2k ?1 ), k ? N ,取 N ? k ? 3 ,则有 ? a2 ? aN ? ? N2?2 ? ?2 ? N ?1 2 ? 1 a N ?2 1 ? 2k ?1 ? ? ? k ?1 ? ?2 ? k ?2 2 ? 1 ? 1,这与 aN 是正整数矛盾。 a1k ?1 所以不存在正整数数列 {an } 满足条件。 22 (2) an ? ? 2 ( n ?1)( n ? 2) 2 就是满足条件的一个无理数数列。此时有 an ?1 ? 4an an?2 ? 2an an?2 。 四、解:为叙述方便,如果一个方格中填的数大于它所在行至少 2004 个方格中所填的数, 则称此格为行优的。由于每一行中填较小的 2004 个数的格子不是行优的,所以每一行中有 n-2004 个行优的。一个方格为“优格”一定是行优的,所以棋盘中“优格”个数不大于 n(n ? 2004) 。 ... i ? 2003 (大于 n 时取模 n 另一方面,将棋盘的第 i (i ? 1, 2,3,..., n) 行,第 i、i ? 1、、 的余数)列中的格子填入“*” 。将 1、2、3、…、2004n 填入有“*”的格子,其余的数填入 没有“*”的格子。没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中任何一个数,所以棋盘 上没有“*”的格子都

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