甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 2.2.7双曲线第二定义教案 新人教A版选修1-1

甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 2.2.7 双曲线第二定义教案 新 人教 A 版选修 1-1

教学重点:双曲线的第二定义 教 学难点:双曲线的第二定义及应用. 教学方法:类比法(类比椭圆的第二定义) 教学过程:1 一、复习引入: 1、 (1)、双曲线的定义:平面上到两定点 F1、F2 距 离之差的绝对值等于常数(小于 | F1 F2 | )的 点的 轨迹叫做双曲线.定 点 F1、F2 叫做双曲线的焦点 ,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 (2)、双曲线的标准方程: 焦点在 x 轴:

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a2 b2

焦点在 y 轴:

y 2 x2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 其中 a 2 ? b 2 ? c 2 2 a b
c b x ;(3)、离心率: e ? >1 a a

2、 对于焦点在 x 轴上的双曲线的有关性质: (1)、焦点:F1(-c,0),F2(c,0);(2)、渐近线: y ? ?

3、今节课我们来学习双曲线的另一定义。(板书课题:双曲线第二定义) 二、新课教学: 1、引例(课本 P64 例 6):点 M(x,y) 与定点 F(5,0)距离和它到定直线 l : x ? 数

16 的距离之比是常 5
y H H F1 o F2

5 ,求点 M 的轨迹方程. 4
分析:利用求轨迹方程的方法。 解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合 P={M|

| MF | 5 ? }, d 4

x



( x ? 5) ? y 5 ? 16 4 x? 5
2 2

化简得

x y ? ?1 16 9
x? a2 c

2

2

所以,点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8、6 的双曲线。 由例 6 可知:定点 F(5,0)为该双曲线的焦点,定直 线 l : x ? 常数为离心率 e ?

a2 16 为x? , 5 c

c >1. a
1

[提出问题]: (从特殊到一般)将上题改为:点 M(x,y)与定点 F(c,0)距离和它到定直线 l : x ? 的距离之比是常数 e ?

a2 c

c ? 1 ,求点 M 的轨迹方程。 a
根据题意,所求轨迹就是集合 P={M|

解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离,

| MF | 5 ? }, 即 d 4

( x ? c) 2 ? y 2 x? a c
2

?

c a

化简得 (c2 ? a2 ) x2 ? a2 y 2 ? a2 (c2 ? a2 ) 两边同时除以 a 2 (c 2 ? a 2 ) 得

x2 y 2 ? ? 1 (其中a ? 0, b ? 0) a 2 b2
2、小结: 双曲线第二定义:当动点 M(x,y) 到一定点 F(c,0)的距离和它到一定直线 l : x ? 是常数 e ? 直线 l : x ?

a2 的距离之比 c

c ? 1 时,这个动点 M (x,y)的轨迹是双曲线。其中定点 F(c,0)是双曲线的一个焦点,定 a

a2 叫双曲线的一条准线,常数 e 是双曲线的离心率。双曲线上任一点到焦点的线段称 c

为焦半径。例如 PF 是双曲线的焦半径。 (P65 思考)与椭圆的第二定义比较,你有什么发现?(让学生讨论) 答:只是常数 e 的取值范围不同,椭圆的 0 ? e ? 三、课堂练习

c c ? 1 ,而双曲线的 e ? ? 1 . a a

x2 y 2 ? ? 1 的准线方程、两准线间的距离。 1. 求 3 4
解:由

x2 y 2 3 ? ? 1 可知,焦点在 x 轴上,且 c ? 3 ? 4 ? 7 所以准线方程为: x ? ? ;故两准 3 4 7

线的距离为

3 3 6 7 . ? (? )? 7 7 7

2、(2006 年广东高考第 8 题选择题)已知双曲线 3x 2-y 2 = 9,则双曲线右支上的点 P 到右焦点 的距离与点 P 到右准线的距离之比等于( )。 (A) 2 (B) 2 3 3 (C) 2 (D) 4

解:

2

3、如果双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的一点 P 到左焦点的距离为 9,则 P 到右准线的距离是____ 25 144
c 13 ? a 5

解 : P 到左准线的距离为 m,由双曲线方程可 知 a=5,b=12,c=13, e ? 准线方程为 x ? ?

a 2 25 ? c 13

根据双曲线第二定义得,

9 13 45 ?e? ?m? m 5 13

又 两准线间的距离为

25 25 50 ? (? ) ? 13 13 13

? P到右准线的距离为

50 45 95 ? ? 。 13 13 13

4、双曲线两准线把两焦点连线段三等分,求 e. 解:由题意可知,

c a2 a2 1 c2 ? (? ) ? ? 2c 即 2 ? 3, 又 e ? 1 所以 e ? ? 3 a c c 3 a

5. 双曲线的

x2 y2 ? ? 1 ?a > 0 ,b > 0 ? 渐近线与一条准线围成的三角形的面积是 a2 b2

.

a2 a2 b 解:由题意可知,一条准线方程为: x ? ,渐近线方程为 y ? ? x 因为当 x ? 时 a c c

y??

b a2 ab 1 ab ab a 2 a3b ?? [ ? (? )] ? 2 所以所求的三角形面积为: a c c 2 c c c c
x2 a2 y2 b2

四、巩固练习: 1.已知双曲线
?

= 1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于 A,△OAF 面积为 ) C.60° D.90°

a2 (O 为原点) ,则两条渐近线夹角为( 2 A.30° B.45°

解:由题意可得 ,△OAF 的底边|OC|=c,高 h=

b a 2 ab ? a c c

1 ab a 2 ? a ? b 因此 ? ? S△OAF= c 2 c 2

可知该双曲线为等轴双曲线。所以两条渐近线夹角为 90°。 2.已知点( A 3, 1)、F (2, 0)在双曲线 , x2 ?

y2 1 ? 1上求一点P,使得 PA ? PF 的值最小,并求出最小值。 3 2 1 1 分析:本题的关键是利用双曲线的第二定义将 PA ? PF 中的 PF 转化。 2 2 y

H P

P

解:由题意得e ? 2,设点P到右准线的距离为d,
1 PF 则由双曲线第二定义得: ? 2 ? PF ? d 2 d

1 即 PA ? PF ? PA ? d 2

H F1 o

A F2 x

结合图形得 : 最小值为: 3?

a

2

c

?

5 2

, 这时P为:(

2 3 3

, 1 ) 。
a 23 c

x?

五、教学反思: (1) 知识内容:双曲线的第二定义及应用。 (2) 数学方法:类比法, (3) 数学思想: 从特殊到一般 六、作业: 1、双曲线 2mx2 ? m y 2 ? 2 的一条准线是 y=1,则 m 的值。 2、求渐近线方程是 4x ? 3 y ? 0 ,准线方程是 5y ? 16 ? 0 的双曲线方程. 3、已知双曲线的离心率为 2,准线方程为 y ? ?2 x ,焦点 F(2,0),求双曲线标准方程. 4、 (请你编题 )若双曲线标准方程为__上一点 p 到(左,右)焦点的距离是___则点 p 到(左, 右) 准线的距离___. 七、板书设计 课题:双曲线的第二定义及应用 1、 复习引入 (1)、双曲线的定义 (2)、双曲线的标准方程 (3)、关于焦点在 x 轴上的双曲线的有关 性质 2、 新内容 双曲线第二定义: 例题: 课堂练习: 1、 2、 3、 4、 5、 课后练习: 1、 2、 作业: 1、 2、 3、 4、

4


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