第三册第二章第5节函数的最大值和最小值(文)





高三 孙力





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高三新课:函数的最大值和最小值(文)

【本讲教育信息】
一. 教学内容: 高三新课:函数的最大值和最小值 二. 知识讲解: 一般地,设 y ? f ( x) 是定义在 [ a, b] 上的函数, y ? f ( x) 在( a , b )内有导数,求函 数 y ? f ( x) 在 [ a, b] 上的最大值与最小值可分为两步进行: 1. 求 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值(极大值或极小值) ; 2. 将 y ? f ( x) 的各极值与 f (a), f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最 小值。

【典型例题】
[例 1] 已知 f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b 在区间 [?2,1] 上的最大值是 5, 最小值为 ? 11 , 求 f ( x) 解 析式。 解:由 f ( x) ? ax3 ? 2ax2 ? b ,则 f ?( x) ? 3ax2 ? 4ax ? ax(3x ? 4) 令 f ?( x) ? 0 ,则在区间 [?2,1] 上的根为 x ? 0 ,且 f (0) ? b (1)当 a ? 0 时,列表如下

?2

( ? 2,0 ) +

0 0

(0,1) -

1

f ?( x) f ( x)
5 ? 16a

?

b

?

5?a

函数 y ? f ( x) 在 x ? 0 处有极大值 f (0) ? b , 又由 y ? f ( x) 的单调性, 则 y ? f ( x) 最 大值为 f (0) ? b ,由已知 b ? 5 。 而 f ( x) 最小值为 f (?2) 与 f (1) 的最小者 而 f (?2) ? ?8a ? 8a ? 5 ? 5 ? 16a , f (1) ? a ? 2a ? 5 ? 5 ? a

则 f (1) ? f (?2) ,即 f (?2) ? 5 ? 16a 为最小值 由已知 ? 16 a ? 5 ? ?11 ,则 a ? 1 ,所以 f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? 5 (2)当 a ? 0 时,同理可得 f (0) 为最小值,故 b ? ?11

f ( x) 的最大值为 f (?2) 与 f (1) 的最大者 f (?2) ? ?16a ? 11, f (1) ? ?a ? 11
则 f (?2) 为最大值即 ? 16 a ? 11 ? 5 则 a ? ?1 ,所以 f ( x) ? ? x 3 ? 2 x 2 ? 11
3 2 ? ? x ? 2 x ? 5, a ? 0 综上 f ( x) ? ? 3 2 ? ?? x ? 2 x ? 11, a ? 0

[例 2] 已知在区间 [ ?1,1] 上,函数 f ( x) ? x ?
3

3 2 6 ax ? b 的最大值为 1,最小值为 ? , 2 2

并且

2 ? a ? 1 ,求 a 与 b 的值。 3 3 2 3 解:由 f ( x) ? x ? ax ? b ,则 f ?( x) ? 3x( x ? a) 2
令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? 0, x ? a ,函数 f ( x) 在区间 [ ?1,1] 上的增减性如下表

?1

(?1,0)
+

0

(0, a )


a

( a,1 ) +

1

f ?( x)
f ( x)
?1? 3 a?b 2

?

极大

?

极小

?

1?

3 a?b 2

3 1 1 3 1 f (?1) ? f (a) ? (?1 ? a ? b) ? (? a ? ? b) ? a 3 ? a ? 1 ? (a ? 1) 2 (a ? 2) 2 2 2 2 2 2 由 ? a ? 1 ,则 f (?1) ? f (a) ? 0 ,即 f (?1) ? f (a) 3 3 又由 f (0) ? b , f (1) ? 1 ? a ? b ,则 2

f (1) ? f (0)
所以 f max ( x) ? f (0) ? b , f min ( x) ? f (?1) ? 1 ?

3 a?b 2

?b ? 1 ? 由已知 ? 3 6 ?? 1 ? a ? b ? ? 2 2 ?
解得 a ?

6 ,b ? 1 3

注:求闭区间上连续函数的最值问题,须比较极值点与区间端点的函数值的大小。 [例 3] 已知两个函数 f ( x) ? 8x 2 ? 16x ? k , g ( x) ? 2 x 3 ? 5x 2 ? 4 x ,其中 k ? R 。 (1)对任意 x ? [?3,3] 都有 f ( x) ? g ( x) 成立,求 k 的取值范围。 (2)对任意的 x1 ? [?3,3] , x2 ? [?3,3] 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 k 的取值范围。 解:设 h( x) ? g ( x) ? f ( x) ,则对任意的 x ? [?3,3] 都有 f ( x) ? g ( x) 成立等价于函数

h( x) 的最小值发即 hmin ( x) ? 0 ,其中 x ? [?3,3]

h( x) ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 12x ? k , h?( x) ? 6x 2 ? 6x ? 12 ? 6( x ? 1)(x ? 2)
令 h ?( x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 2 ,列表如下

?3

(?3,?1)
+

?1
0

(?1,2)


2 0

(2,3) +

3

h ?( x)
h( x )
k ? 45

?

k ?7

?

k ? 20

?

k ?9

由上表可知 hmin ( x) ? k ? 45 由 hmin ( x) ? 0 ,可得 k ? 45 (2)对任意 x1 ? [?3,3] , x2 ? [?3,3] 都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立等价于 f ( x) 的最大值 不大于 g ( x) 的最小值,其中 x ? [?3,3] 以下先求 g ( x) 的最小值 g min ( x) ,由 g ( x) ? 2 x ? 5x ? 4 x ,则有
3 2

g ?( x) ? 6x 2 ? 10x ? 4 ,即 g ?( x) ? 2(3x ? 2)(x ? 1)
令 g ?( x) ? 0 ,则 x ? ?

2 或 x ? ?1 ,列表如下 3

x
g ?( x )
g ( x)

?3

(?3,?1)
+

?1
0

2 ( ?1,? ) 3


?

2 3

(?

2 ,3 ) 3
+

3

0

? 21

?

?1

?

?

28 27

?

111

所以 g min ( x) ? ?21 以下再求 f ( x) 的最大值

f ( x) ? 8x 2 ? 16x ? k ? 8( x ? 1) 2 ? 8 ? k , x ? [?3,3] ,利用二次函数的图象性质,可
得 f max ( x) ? f (3) ? 120 ? k ,于是 120 ? k ? ?21 即 k ? 141 [例 4] 用总长 14.8m 的钢条制做一个长方形容器的柜架, 如果所制的容器的底面的一边比另 一边长 0.5m,那么高为多少时容器最大,并求出它的最大容积。 解:设容器底面边长为 xm ,则另一边长为 x ? 0.5m ,高为 [14 .8 ? 4 x ? 4( x ? 0.5)] =

1 4

3.2 ? 2 x 由 3.2 ? 2 x ? 0 和 x ? 0 ,得 0 ? x ? 1.6
设容器的容积为 ym3 ,则有 y ? x( x ? 0.5)(3.2 ? 2 x) ( 0 ? x ? 1.6 ) 整理,得 y ? ?2 x 3 ? 2.2 x 2 ? 1.6 x 则 y? ? ?6 x 2 ? 4.4 x ? 1.6 ,令 y ? ? 0 ,有 ? 6 x ? 4.4 x ? 1.6 ? 0
2 2 即 15x ? 11x ? 4 ? 0 ,解得 x1 ? 1 , x 2 ? ?

4 (不合题意舍去) 15

从而,在定义域(0,1.6)内只有在 x ? 1 处使得 y ? ? 0 ,由题意,若 x 过小(接近 0) 或过大(接近 1.6)时 y 的值很小, (接近 0) ,因此,当 x ? 1 时, y 取最大值,即

ymax ? ?2 ? 2.2 ? 1.6 ? 1.8
此时,高为 3.2 ? 2 ? 1 ? 1.2 ,所以,当高为 1.2 m 时,容器最大的容积为 1.8m 。
3

【模拟试题】 (答题时间:25 分钟)
1. 函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 在闭区间 [?3,0] 上的最大值,最小值分别是(
3



A. 1,?1

B. 1,?17

C. 3,?17

D. 9,?19

2. 函数 f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? a ( a 为常数)在 [?2,2] 上有最小值 3,那么 f ( x) 在 [?2,2] 上的最大值是
3



3. 设函数 f ( x) = x ?

1 2 ax ? 3x ? 5(a ? 0) 2

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 2 ,且当 x ? [1,2] 时, f ( x) ? (m ? 1) 恒成立,求实数 m 的取值范围。

【试题答案】
1. C 提示:先求极值,令 f ?( x) ? 3x 2 ? 3 ? 0 ? x ? ?1, f (?1) ? 3 , f (1) ? ?1 ,

f (?3) ? ?17 , f (0) ? 1 ,所以,最大值为 3,最小值为 ? 17 。
2. 43 提示: f ?( x) ? 6 x( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 6 x( x ? 2) ? 0 ,则 x1 ? 0, x2 ? 2 当 x ? [?2,0] 时, f ?( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 [?2,0] 上单调递增 当 x ? [0,2] 时, f ?( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 在 [0,2] 上单调递减 又由 f (?2) ? a ? 40 , f (2) ? a ? 8 ,故 f (?2) ? a ? 40 ? 3 则 a ? 43 ,所以, f ( x) ? 2 x 3 ? 6 x 2 ? 43,且 f ( x) 在 [?2,2] 上的最大值是

f (0) ? 2 ? 03 ? 6 ? 0 2 ? 43 ? 43
3. 解: (1) f ?( x) ? 3x 2 ? ax ? 3 ,其判别式 ? ? a ? 36
2

当 a ? 6 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

a ? a 2 ? 36 a ? a 2 ? 36 或x? 6 6

则 f ( x) 的递增区间为 (??,

a ? a 2 ? 36 a ? a 2 ? 36 ), ( ,??) 6 6

递减区间为 (

a ? a 2 ? 36 a ? a 2 ? 36 , ) 6 6

当 0 ? a ? 6 时, f ?( x) ? 0 恒成立,则 f ( x) 的递增区间为 (??,??)
2 (2)a ? 2 时, f ?( x) ? 3x ? 2 x ? 3 ? 0 恒成立,因此 f ( x) 在 (??,??) 上是增函数,

从而 f ( x) 在(1,2)上递增,则 f max ( x) ? f (2) ? 15

f ( x) ? m ? 1 在 x ? [1,2] 恒成立 ? 15 ? m ? 1 ,解得 m ? (??,?14] ? [16,??)
故 m 的取值范围是 (??,?14] ? [16,??)


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