【解析版】辽宁省沈阳二中2015届高三上学期期中考试+数学理试题

辽宁省沈阳二中 2015 届高三上学期期中考试 数学理试题
【试卷综析】本试卷是高三理科试卷,以基础知识和基本能力为载体, ,在注重考查学科核心知识的同时, 突出考查考纲要求的基本能力,试题重点考查:集合、不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性 规划、数列、三角函数的性质等;考查学生解决实际问题的能力。 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.)
2 【题文】1.若复数( a ? 1)+( a ? 1 )i(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a = (

)

A.±1

B.-1

C.0

D.1

【知识点】复数的基本概念与运算 L4 【答案解析】 B 因为复数 a2-1+ (a-1) i(i 为虚数单位)是纯虚数,所以 a2-1=0 且 a-1≠0,解得 a=-1. 故 选 B. 【思路点拨】复数是纯虚数,实部为 0 虚部不为 0,求出 a 的值即可. 【题文】2. 已知集合 M ? {x | x ? x } , N ? { y | y ?
2

4x , x ? M } ,则 M 2

N?

(

)

A.{ x |0< x <

1 1 } B.{ x | < x <1} 2 2

C.{ x |0< x <1} D.{ x |1< x <2}

【知识点】集合及其运算 A1 【答案解析】 B 对于集合: M: 由 x>x2, 解得 0<x<1, ∴M={x|0<x<1}. ∵0<x<1, ∴1<4x<4∴.

1 2



1 1 4x < 2 .∴N={y| < y < 2 }.∴M∩N={x| < x < 1 }.故选 B. 2 2 2

【思路点拨】利用一元二次不等式的解法和指数函数的性质可化简集合 M,N.再利用交集的运算即可得 出. 【题文】3. 下列有关命题的说法正确的是 ( ) A.命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” . B. “ x ? ?1 ” 是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. D.命题“ ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” . 【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件 A2 【答案解析】C 命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2≠1,则 x≠1”.所以,选项 A 不正确;由 x=-1, 能够得到 x2-5x-6=0.反之,由 x2-5x-6=0,得到 x=-1 或 x=6.所以,“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条 件.所以,选项 B 不正确;“若 x=y”,则“sinx=siny”为真命题,所以其逆否命题也为真命题.所以,选项 C 正确;命题“?x0∈R,x 0 2 +x 0 +1 < 0 ”的否定是“对?x∈R,x2+x+1≥0”.所以,选项 D 不正确.故选 C.

【思路点拨】题目给出的四个命题,A 是写出一个命题的否命题,既要否定条件,又要否定结论;B 是分 析充要条件问题,由 x=-1,一定能得到 x2-5x-6=0,反之,由 x2-5x-6=0,得到的 x 的值还可能是 6;C 是 考查互为逆否命题的两个命题共真假;D 是考查特称命题的否定,特称命题的否定式全称命题. 【题文】4. 已知各项均为正数的等比数列 {a n } 中, 3a1 , A. 27 B.3 C.

a ? a13 1 a3 , 2a2 成等差数列,则 11 ?( 2 a8 ? a10
D.1 或 27



?1 或 3

【知识点】等差数列 等比数列 D2 D3 【答案解析】A ∵ 3a1 , ∵q>0∴q=3∴

1 a3 , 2a2 成等差数列∴3a1+2a2=a3,∴3a 1 +2a 1 q=a 1 q 2 ∴q2-2q-3=0 2

a11 ? a13 ? =q3=27 故选 A a8 ? a10 a11 ? a13 ? =q3,代入 a8 ? a10

【思路点拨】由已知可得,3a1+2a2=a3,结合等比数列的通项公式可求公比 q,而 即可求解. 【题文】5. 函数 f ( x) 的定义域为 (0,1] ,则函数 f (lg A. [?5,4] B. [?5,?2)

x2 ? x ) 的定义域为 2
D. [?5,?2) ? (1,4]

(

)

C. [?5,?2] ? [1,4]

【知识点】函数及其表示 B1 【答案解析】D 函数 f ( x) 的定义域(0,1)所以 0< lg

x2 ? x x2 ? x 1 , 0< ? ? 10 2 2

则 1 ? x ? 4 或 ?5 ? x ? ?2 故选 D. 【思路点拨】根据复合函数的定义域对数函数的性质求出定义域。 【题文】6. 已知 cos( x ?

?
6

)??

3 ? ,则 cos x ? cos( x ? ) ? 3 3
C. ? 1 D. ? 1

(

)

A. ?

2 3 3

B. ?

2 3 3

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2 【答案解析】C ∵cos(x-

? ? ? ? 3 )=,∴cosx+cos(x)=cosx+cosxcos +sinxsin 6 3 3 3 3

=

3 1 ? 3 3 3 cosx+ sinx= 3 ( cosx+ sinx)= 3 cos(x- )= 3 ×()=-1 故选 C. 2 2 6 2 2 3

【思路点拨】利用两角和与差的余弦函数将 cosx+cos(x-

? ? )化为 3 cos(x- )即可. 3 6

【题文】7. 已知 x,y 满足

记目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 1,最大值为 7,则 b, c 的

值分别为 A. -1,-2 B. -2,-1 C. 1,2

( D. 1,-2



【知识点】简单的线性规划问题 E5 【答案解析】A 由题意得知,直线 x+by+c=0 经过 ?

? 2 x ? y ? 7 ?2 x ? y ? 1 和? 的交点,即经过(3,1)和 x ? y ? 4 x ? 1 ? ?

(1,-1)点,所以 ?

?3 ? b ? c ? 0 则 b=-1,c=-2. ?1 ? b ? c ? 0

【思路点拨】求出直线的交点判断何时取到最值求出 b,c.

【题文】8.已知等比数列 ?an ? 满足 an >0, n =1,2,?,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ≥1 时,

log2 a1 ? log2 a2 ???? ? log2 a2n?1 =
A.n(2n-1) B.(n+1)
2

( C.n
2



D.(n-1)

2

【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案解析】C 由等比数列的性质可得 a n 2 =a5?a2n-5=22n,=(2n)2, ∵an>0,∴an=2n,故数列首项 a1=2,公比 q=2, 故 log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2a1?a3?…?a2n-1=log2(a 1 ) n q 0 + 2 + 4 + … + 2 n - 2 =log 2 2 n ?2

n(0 ? 2n ? 2) =log 2 2 n+ n 2 - n =log 2 2 n2 =n2,故答案为 C. 2

【思路点拨】由题意可得 an=2n,可得数列首项 a1=2,公比 q=2,进而可得原式=log2(a 1 ) n q 0+ 2+ 4+ …+ 2n -2 , 代入由对数的性质化简可得答案. 2 1+2sin x ? π? 【 题 文 】 9. 已 知 x ∈ ?0, ? , 且 函 数 f(x) = 的 最 小 值 为 b , 若 函 数 g(x) = 2? sin 2x ?

?π <x<π ? ? ? ?-1? 2? ?4 ? π? ? 8x -6bx+4?0<x≤ ? ? ? 4? ?
2

,则不等式 g(x)≤1 的解集为

(

)

A.?

?π ,π ? ? ?4 2?

B.?

3? ?π , ? ?4 2 ?

C.?

3? ? 3 , ? 2? ?4

D.?

? 3 π? , ? ? 4 2?

【知识点】三角函数的图象与性质 C3

? 3sin 2 x ? cos 2 x 【答案解析】D ∵x ∈ (0, ) ,∴tanx>0.∴f(x)= 2 2sin x cos x
=

1 1 1 (3tanx+ )≥ 3 tan x ? = 2 tan x tan x

3 .当且仅当 tanx=

? 3 ,即 x= 时取等号. 6 3

? ? ? ? ? 3 ? 0? x? 因此 b= 3 .不等式 g(x)≤1?① < x < 或② ? ,解②得 ≤x≤ . 4 4 2 4 4 ?8x 2 ? 6 3 ? 4 ? 1 ?
因此不等式 f(x)≤1 的解集为[

? ? 3 ? 3 ? , ] ∪ ( , ) =[ , ) .故选 D. 4 2 2 4 4 4

【思路点拨】利用三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式即可得出 f(x)的最小值即 b.再利用一 元二次不等式的解法、交集与并集的运算即可得出. 【 题 文 】 10. 如图,长方形 ABCD 的长 AD ? 2 x ,宽 AB ? x( x ? 1) ,线段 MN 的长度为1,端点 M , N 在长方形

ABCD 的四边上滑动,当 M , N 沿长方形的四边滑动一周时,线段 MN 的中点 P 所形成的轨迹为 G ,记 G 的周长与 G 围成的面积数值的差为 y ,则函数 y ? f ( x) 的图象大致为
( )

【知识点】函数的图像 B8 【答案解析】C :∵线段 MN 的长度为 1,线段 MN 的中点 P, ∴AP=

1 1 1 1 , MN= ,即 P 的轨迹是分别以 A,B,C,D 为圆心,半径为 的 4 个 圆,以及线段 GH, 2 2 2 4

FE , RT , LK , 部 分 . ∴ G 的 周 长 等 于 四 个 圆 弧 长 加 上 线 段 GH , FE , RT , LK 的 长 , 即 周 长

1 1 1 1 1 1 +2(2x- - )+2(x- - ) =π+4x-2+2x-2=6x+π-4,面积为矩形的面积减去 4 个 圆的面积,即 2 2 2 2 2 4 1 2 ? 等 于 矩 形 的 面 积 减 去 一 个 整 圆 的 面 积 为 2x?x - π×( ) =2x 2 , ∴ f ( x ) 2 4 ? 5? =6x+π-4-(2x 2 - ) =-2x 2 +6x+ -4 ,是一个开口向下的抛物线,∴对应的图象为 C,故选:C. 4 4
=2π× 【思路点拨】根据条件确定点 P,对应的轨迹,然后求出相应的周长和面积,求出函数 f(x)的表达式, 然后根据函数表达式进行判断图象即可. 【题文】11.若曲线 f(x,y)=0 上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线 f(x,y)=0 的“自公 切线”.下列方程:①x -y =1;②y=x -|x|;③y=3sin x+4cos x;④|x|+1= 4-y 对应的曲线中 存在“自公切线”的有 ( )
2 2 2 2

A.①②

B.②③

C.①④

D.③④

【知识点】双曲线及其几何性质周期性 B4 H6

1 1 ? ( x ? )2 ? ? ? 2 4 【答案解析】B ①x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;②y=x2-|x|= ? , ?( x ? 1 ) 2 ? 1 ? ? 2 4
1 1 1 3 和 x=- 处的切线都是 y=- ,故②有自公切线.③y=3sinx+4cosx=5sin(x+φ),cosφ= , 2 2 4 5 4 sinφ= ,此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合,故此函数 5
在 x= 有自公切线.④由于|x|+1= 为 B. 【思路点拨】①x2-y2=1 是一个等轴双曲线,没有自公切线;②在 x=

4 ? y 2 ,即 x2+2|x|+y2-3=0,结合图象可得,此曲线没有自公切线.故答案

1 1 1 和 x=- 处的切线都是 y=- ,故 2 2 4

②有自公切线.③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合,故 此函数有自公切线.④结合图象可得,此曲线没有自公切线. 【题文】12.函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c ,在定义域 x ?? ?2, 2? 上表示的曲线过原点,且在 x ? ?1 处的
3 2

切线斜率均为 ?1 .有以下命题: ① f ? x ? 是奇函数;②若 f ? x ? 在? s, t ? 内递减,则 t ? s 的最大值为 4;③ f ? x ? 的最大值为 M,最小值为

m ,则 M ? m=0 ;④若对 ?x ?? ?2, 2?,k ? f ? ? x? 恒成立,则 k 的最大值为 2. 其中正确命题的个数为
( A. 1 个 ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】B 函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象过原点,可得 c=0; 又 f′(x)=3x2+2ax+b,且 f(x)在 x=± 1 处的切线斜率均为-1, 则有 ?

?3 ? 2a ? b ? ?1 ,解得 a=0,b=-4.所以 f(x)=x3-4x,f′(x)=3x2-4. ?3 ? 2a ? b ? ?1

①可见 f(x)=x3-4x 是奇函数,因此①正确;x∈[-2,2]时,[f′(x)]min=-4,则 k≤f'(x)恒成立,需 k≤-4, 因此④错误.②令 f′(x)=0,得 x=±

2 3 2 3 2 3 4 3 .所以 f(x)在[, ]内递减,则|t-s|的最大值为 , 3 3 3 3 2 3 16 3 2 3 16 3 )= ,极小值为 f( )=, 3 9 3 9 16 3 16 3 ,最小值为 m=,则 M+m=0, 9 9

因此②错误;且 f(x)的极大值为 f(-

两端点处 f(-2)=f(2)=0,所以 f(x)的最大值为 M=

因此③正确.故选 B. 【思路点拨】首先利用导数的几何意义及函数 f(x)过原点,列方程组求出 f(x)的解析式;然后根据奇 函数的定义判断函数 f(x)的奇偶性,且由 f′(x)的最小值求出 k 的最大值,则命题①④得出判断;最后 令 f′(x)=0,求出 f(x)的极值点,进而求得 f(x)的单调区间与最值,则命题②③得出判断.

第Ⅱ卷(90 分)
【题文】二、填空题:本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分. 【题文】13.. 若函数 f ? x ? 在 R 上可导, f ? x ? ? x ? x f ? ?1? ,则
3 2

? f ? x ? dx ?
0

2

.

【知识点】定积分与微积分基本定理 B13 【答案解析】-4 ∵f(x)=x3+x2f′(1),∴f′(x)=3x2+2xf′(1),∴f′(1)=3+2f′(1), ∴f′(1)=-3,∴f(x)=x3-3x2,∴

? 0 f(x)dx =( 4 x -x ) 0 =4-8=-4,故答案为:-4.
4 3

2

1

2

【思路点拨】先根据导数的运算法则求导,再求出 f′(1)=-3,再根据定积分的计算法计算即可. 【题文】14. 若 x ? 0, y ? 0, 且 x ? 2 y ? 1 ,则 2 x ? 3 y 2 的最小值为 【知识点】函数的单调性与最值 B3 【答案解析】 .

3 4

∵x,y 为非负数且 x+2y=1,∴x=1-2y≥0,解得 0≤y≤

1 . 2

2 2 2 1 ) + ,因此 f(y)在[0 , ] 上单调递减, 3 3 2 1 1 3 3 ∴当 y= ,x=0 时,函数 f(y)取得最小值,f( ) = .故答案为 . 2 2 4 4 1 【思路点拨】x,y 为非负数且 x+2y=1,可得 x=1-2y≥0,解得 0≤y≤ . 2 2 2 2 可得 f(y)=2x+3y2=3y2+2(1-2y)=3(y) + ,再利用二次函数的单调性即可得出. 3 3 1 【题文】15. 若数列 ?a n ? 是等差数列,对于 bn ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) ,则数列 ?bn ?也是等差数列。类比上 n
∴f(y)=2x+3y2=3y2+2(1-2y)=3(y述性质,若数列 ?c n ?是各项都为正数的等比数列,对于 d n ? 0 ,则 d n = 列. 【知识点】单元综合 D5 【答案解析】 n c1c2 .......cn 在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的思路有:由加法 时,数列 ?d n ? 也是等比数

类比推理为乘法, 由减法类比推理为除法, 由算术平均数类比推理为几何平均数等, 故我们可以由数列{an} 是等差数列,则当 bn=

1 (a1+a2+..+an),时,数列{dn}也是等差数列.类比推断:若数列{cn}是各项均为 n

正数的等比数列,则当 dn= n c1c2 .......cn 时,数列{dn}也是等比数列.故答案为 n c1c2 .......cn 【思路点拨】本题考查的知识点是类比推理,在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时,我们一般的 思路有:由加法类比推理为乘法,由减法类比推理为除法,由算术平均数类比推理为几何平均数等,故我 们可以由数列{an}是等差数列,则当 bn=

1 (a1+a2+..+an),时,数列{bn}也是等差数列.类比上述性质, n

若数列{cn}是各项均为正数的等比数列,则当 dn= n c1c2 .......cn 时,数列{bn}也是等比数列.

?| log 3 x |,0 ? x ? 3 ? 【 题 文 】 16. 已 知 函 数 f ( x) ? ? 1 2 10 , 若 存 在 实 数 a, b, c, d , 满 足 x ? x ? 8 , x ? 3 ? 3 ?3
f (a ) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) ,其中 d ? c ? b ? a ? 0 ,则 abcd 的取值范围是
【知识点】对数函数 B7 【答案解析】 (21,24) 由题意可得-log3a=log3b= .

1 2 10 1 10 cc+8= d2d+8 可得 log3 (ab) =0, 故 ab=1. 结 3 3 3 3

合函数 f(x)的图象,在区间[3,+∞)上,令 f(x)=1 可得 c=3、d=7、cd=21.令 f(x)=0 可得 c=4、 d=6、cd=24.故有 21<abcd<24,故答案为(21,24). 【思路点拨】由题意可得-log3a=log3b=

1 2 10 1 10 cc+8= d2d+8,可得 log3(ab)=0,ab=1.结合函数 3 3 3 3

f (x) 的图象, 在区间[3, +∞) 时, 令f (x) =1 可得 c=3、 d=7、 cd=21. 令f (x) =0 可得 c=4 d=6、 cd=24. 由 此求得 abcd 的范围. 【题文】三、解答题:本大题共六个大题,满分 70 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 【题文】17.(本题满分 10 分) (1)已知 cos ? ?

1 11 ? , cos(? ? ? ) ? ? ,且 ? , ? ? (0, ) ,求 cos ? 的值; 7 14 2

??) 2 4 (2)已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? ,求 的值. cos 2? ? sin( 2? ? ? ) ? 1 4 cos(
【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切 C5 【答案解析】(1) (1)∵ cos ? ?

?

1 7 (2) 2 7

1 11 ? , cos(? ? ? ) ? ? , ? , ? ? (0, ) 7 14 2

∴sinα= 1 ? cos2 ? =

4 3 5 3 2 ,sin(α+β)= 1 ? cos (? ? ? ) = , 7 14
11 1 5 3 4 3 × + × 14 7 14 7

∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-

=

49 1 = ; 14 ? 7 2

(2)∵α 为第二象限角,sinα=

2 14 ,∴cosα=- 1 ? sin 2 ? = , 4 4

28 ? 2 2 2 cos ? ? sin ? 7 4 2 2 8 ∴ = = = 2 2 cos 2? ? sin( 2? ? ? ) ? 1 cos ? ? sin ? ? 2sin ? cos ? ? 1 28 ? 2 28 7 16

cos(

?

??)

【思路点拨】 (1)由已知可得 sinα 和 sin(α+β) ,代入 cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β) sinα,化简可得; (2)由已知可得 cosα 的值,由三角函数的公式化简要求的式子,代入化简可得. 【题文】18. (本题满分 12 分)在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, 且 3a ? 2c sin A ? 0 . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 2, 求 a ? b 的最大值.

【知识点】解三角形 C8 π 【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ)4 3 (Ⅰ)由 3a-2csin A=0 及正弦定理,得 3sin A-2sin Csin A=0(sin A≠0), ∴sin C= 3 π ,∵△ABC 是锐角三角形,∴C= 2 3

π π 2 2 2 2 (Ⅱ)∵c=2,C= ,由余弦定理,a +b -2abcos =4,即 a +b -ab=4 3 3 ∴(a+b) =4+3ab≤4+3·?
2

?a+b?2,即(a+b)2≤16, ? ? 2 ?

∴a+b≤4,当且仅当 a=b=2 取“=”故 a+b 的最大值是 4. 【思路点拨】根据正限定求出角,根据余弦定理和均值不等式求出最大值。 【题文】19. (本题满分 12 分) 设数列 {a n } 是等差数列,数列 {bn } 的前 n 项和 S n 满足 S n ? (Ⅰ)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式: (Ⅱ)设 cn ? an ? bn , ,设 Tn 为 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn . 【知识点】 等差数列等比数列数列求和 D2 D3 D4 【答案解析】(1)

3 (bn ? 1) 且 a 2 ? b1 , a5 ? b2 2

an ? 2n ? 1, bn ? 3n . (2) Tn ? 3 ? (n ?1)3n?1

(1)∵数列{bn}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=

3 3 (bn-1),∴b1=S1= (b 1 -1) ,解得 b1=3. 2 2

3 3 (b n -1)(b n- 1 -1) ,化为 bn=3bn-1. 2 2

∴数列{bn}为等比数列,∴b n =3×3 n -1 =3 n .∵a2=b1=3,a5=b2=9. 设等差数列{an}的公差为 d. ∴?

? a1 ? d ? 3 ,解得 d=2,a1=1.∴an=2n-1.综上可得:an=2n-1,b n =3 n . ? a1 ? 4d ? 9

(2)cn=an?bn=(2n-1)?3n. ∴Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-3)?3n-1+(2n-1)?3n, 3Tn=32+3×33+…+(2n-3)?3n+(2n-1)?3n+1. ∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-(2n-1)?3n+1=

2 ? 3(3n ? 1) -(2n-1)?3n+1-3 3 ?1

=(2-2n)?3n+1-6.∴T n =3+(n-1)3 n+ 1 . 【思路点拨】 (1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (2)利用“错位相减法”和等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【题文】20.(本题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x ) ? x 2 ? x ,若不等式 f (? x) ? f ( x) ? 2 x 的解集为 C. (1)求集合 C; (2)若方程 f (a x ) ? a x ?1 ? 5 (a ? 0, a ? 1) 在 C 上有解,求实数 a 的取值范围. 【知识点】单元综合 B14 【答案解析】 (1) C ? [?1,1] (2) 0 ? a ? (1) f ( x) ? f (? x) ? 2x
2

1 或a ? 5 2

2 当 x ? 0 时, 2 x ? 2 x ? 0 ? x ? 1

2 当 x ? 0 时, 2 x ? ?2 x ? ? 1 ? x ? 0

所以集合 C ? [?1,1]

(2) f (a x ) ? a x?1 ? 5 ? 0 ? (a x ) 2 ? (a ? 1)a x ? 5 ? 0 ,令 a x ? u 则方程为 h(u) ? u 2 ? (a ? 1)u ? 5 ? 0

h(0) ? ?5

1 1 ? 1 1 1 ? h( ) ? 2 ? 1 ? ? 5 ? 0 当 a ? 1 时, u ?[ , a] , h(u ) ? 0 在 [ , a ] 上有解,则 ? a ?a?5 a a a a 2 ? ?h( a ) ? a ? ( a ? 1) a ? 5 ? 0
当 0 ? a ? 1 时, u ?[a, ] , g (u ) ? 0 在 [a, ] 上有解,则 ? 所以,当 0 ? a ?

1 a

1 a

? h(a) ? 0 1 ? 1 ? 0?a? h ( ) ? 0 2 ? ? a

1 或 a ? 5 时,方程在 C 上有解,且有唯一解。 2

【思路点拨】利用二次函数求结果,复合函数求参数 a. 【题文】21.(本题满分 12 分)

2 如图, P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) 、?、 P n ( xn , y n ) (0 ? y1 ? y 2 ? ? ? y n ) 是曲线 C : y ? 3x( y ? 0) 上

的 n 个点,点 Ai (ai ,0) ( i ? 1,2,3? n )在 x 轴的正半轴上,且 ?Ai ?1 Ai Pi 是正三角形( A0 是坐标原点) . (1)写出 a1 、 a2 、 a3 ; (2)求出点 An (a n ,0) ( n ? N? )的横坐标 an 关于 n 的表达式并证明.

【知识点】单元综合 D5 【答案解析】 (1) a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 12; (2) an ? n(n ? 1), (n ? N ? ) (1) a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 12; (2)依题意,得 x n ?

a n ?1 ? a n a ? a n ?1 2 , yn ? 3 ? n ,由此及 yn ? 3 ? xn 得 2 2

( 3?

a n ? a n ?1 2 3 ) ? (a n ? a n ?1 ) ,即 (an ? an?1 ) 2 ? 2(an?1 ? an ) . 2 2

由(Ⅰ)可猜想: an ? n(n ? 1), (n ? N ? ) . 下面用数学归纳法予以证明: (1)当 n ? 1 时,命题显然成立; (2)假定当 n ? k 时命题成立,即有 an ? k (k ? 1) ,则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设及

(ak ?1 ? ak )2 ? 2(ak ? ak ?1 )
得 [ak ?1 ? k (k ? 1)]2 ? 2[k (k ? 1) ? ak ?1 ] ,即

(ak ?1 )2 ? 2(k 2 ? k ? 1)ak ?1 ? [k (k ? 1)] ? [(k ? 1)(k ? 2)] ? 0 ,
解之得 ak ?1 ? (k ? 1)(k ? 2) ( ak ?1 ? k (k ? 1) ? ak 不合题意,舍去) , 即当 n ? k ? 1 时,命题成立.由(1) 、 (2)知:命题成立. 【思路点拨】构造新数列求出表达式,利用数学归纳法证明结论。 【题文】22.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x 在 x ? 1 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直, 函数 g ( x) ? f ( x) ?

1 2 x ? bx . 2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ? 【知识点】导数的应用 B12

7 ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值. 2

15 -2ln2 8 a (1)∵f(x)=x+alnx,∴f′(x)=1+ , x
【答案解析】(1)1(2)b>3(3) ∵f(x)在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0 垂直,∴k=f′(x)|x=1=1+a=2,解得 a=1. (2)∵g(x)=lnx+

1 2 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 x -(b-1)x,∴g′(x)= ,x>0, 2 x

1 +1-b<0 有解, x 1 1 1 ∵定义域 x>0,∴x+ ≥2,x+ <b-1 有解,只需要 x+ 的最小值小于 b-1, x x x
由题意知 g′(x)<0 在(0,+∞)上有解,即 x+ ∴2<b-1,解得实数 b 的取值范围是{b|b>3}. (3)∵g(x)=lnx+

1 2 x -(b-1)x, 2

∴g′(x)=

x 2 ? (b ? 1) x ? 1 =0,∴x1+x2=b-1,x1x2=1 x

∴g(x1)-g(x2)=ln

x1 1 x x - ( 1 - 2) x2 2 x2 x1
1 1 x1 ,0<t<1,令 h(t)=lnt- (t- ),0<t<1, 2 t x2

∵0<x1<x2,∴设 t=

则 h′(t)=又∵b≥

(t ? 1) 2 <0,∴h(t)在(0,1)上单调递减, 2t 2

7 25 ,∴(b-1)2≥ , 2 4 1 1 15 ,h(t)≥h( )= -2ln2, 4 4 8

∵0<t<1,∴4t2-17t+4≥0,∴0<t< 故所求的最小值为

15 -2ln2. 8 1 +1-b<0 有解,由此能求出实数 b 的取值范围. x

【思路点拨】(1)求导数,利用导数的几何意义能求出实数 a 的值. (2)),由题意知 g′(x)<0 在(0,+∞)上有解即 x+

(3)g(x1)-g(x2)=ln 最大值.

x1 1 x x - ( 1 - 2 ),由此利用构造成法和导数性质能求出 g(x1)-g(x2)的 x2 2 x2 x1


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