高中数学选修2-1(人教B版)第二章圆锥曲线与方程2.5知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修2-1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 圆锥曲线与方程 2.5 直线与圆锥曲线

一、学习任务 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问 题;理解求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法;进一步体会数形结合的思想方法. 二、知识清单
直线与圆锥曲线 动态圆锥曲线问题的参数求解 弦长与面积 动态圆锥曲线问题的性质证明 直线与圆锥曲线的位置关系

三、知识讲解
1.直线与圆锥曲线

2.弦长与面积 描述: 若直线与圆锥曲线相交时有两个交点,则以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦,线段的 长就是弦长.直线 y = kx + b(k ≠ 0) 与圆锥曲线相交于点 A(x1 , y 1 ),点 B(x2 , y 2 ) ,则直线 被圆锥曲线所截得的弦长公式为

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 2 |AB| = √(x1 ? x2 ) + (y 1 ? y 2 ) = √1 + k |x1 ? x2 | = √1 + |y 1 ? y 2 | ;其中 k2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |x1 ? x2 | 和 |y 1 ? y 2 | 可由两根差公式 |x1 ? x2 | = √(x1 + x2 )2 ? 4x1 x2 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? |y 1 ? y 2 | = √(y 1 + y 2 )2 ? 4y 1 y 2 得到.
面积问题首先需要选择恰当的面积公式,常见的有:

1、直线 l 方程为 y = kx + m,与椭圆相交于点 A 、B ,P H 垂直于弦 AB 于点 H ,则

d = |P H |,因此, △ABP 的面积 S △ABP =

1 |AB| ? d . 2

2、直线 l 方程为 y = kx + m,与椭圆相交于点 A(x1 , y 1 )、B(x2 , y 2 ) ,且过椭圆右焦点

1

y = kx + m F2 ,则 △ABF1 的面积为 S △ABF1 =

1 |F1 F2 | ? |y 1 ? y 2 | . 2

A(

1 , y1 )

B(

2 , y2 )

3、过椭圆上一动点 A ,引直线 AB 、AC 交椭圆于另外两点 B 、C ,且 ∠BAC = θ ,则

S △ABC =

1 |AB| ? |AC | sin θ. 2

例题:

已知椭圆

(1)求椭圆的方程;

y2 x2 + = 1(a > b > 0) 右顶点到右焦点的距离为 √3 ? 1,短轴长为 2√2 . a2 b2 3√3 ,求直线 2

(2)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A 、B 两点,若线段 AB 的长为

AB 的方程.

解:(1)由题意可知,a ? c = √3 ? 1 ,2b = 2√2 ,再结合 a2 = b 2 + c 2 ,可解得 a = √3 , c = 1.

y2 x2 + = 1. 3 2 4 (2)当直线 AB 与 x 轴垂直时,|AB| = ,不符合题意舍去; √3 当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y = k(x + 1),代入椭圆方程,消去 y
所以椭圆方程为 得

(2 + 3k2 )x2 + 6k2 x + (3k2 ? 6) = 0.
设 A(x 1 , y 1 ),B(x 2 , y 2 ) ,则

? ?6k2 ? , ? x1 + x2 = 2 + 3k2 ? 3k2 ? 6 ? ? ? , ? x1 x2 = 2 + 3k2

所以

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |AB| = √(x1 ? x2 )2 + (y 1 ? y 2 )2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = √1 + k2 √(x1 + x2 )2 ? 4x1 x2 =
由 |AB| =

4√3 (k2 + 1) 2 + 3k2



3√3 ,解得 k2 = 2 ,即 k = ±√2 . 2 所以直线 l AB :√2 x ? y + √2 = 0 或 √2 x + y + √2 = 0. y2 x2 √6 ,右焦点为 (2√2 , 0) ,斜率为 1 + = 1 (a > b > 0) 的离心率为 2 2 3 a b 的直线 l 与椭圆 G 交与 A ,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P (?3, 2) . (1)求椭圆 G 的方程; (2)求 △P AB 的面积. c √6 解:(1)由已知得 c = 2√2 , .解得 a = 2√3 .又 b 2 = a2 ? c 2 = 4 . = a 3 y2 x2 所以椭圆 G 的方程为 + =1 . 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y = x + m ,则由
已知椭圆 G :

? y = x + m, ? x2 y2 ? + = 1, 12 4

整理得

4x2 + 6mx + 3m 2 ? 12 = 0.


??①

A ,B 的坐标分别为 (x1 , y 1 ) , (x2 , y 2 ) (x1 < x2 ) , AB 中点为 E (x0 , y 0 ) ,则 x0 = 3m x1 + x2 =? , 2 4 m . y 0 = x0 + m = 4

因为 AB 是等腰 △P AB 的底边,所以 P E ⊥ AB . 所以 P E 的斜率

m 4 k= = ?1. 3m ?3 + 4 2?
解得 m = 2 .此时方程① 为 4x2 + 12x = 0 .解得

x1 = ?3, x2 = 0.
所以

x1 + x2 = ?3, x1 ? x2 = 0
所以

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |AB| = √(x1 ? x2 )2 + (y 1 ? y 2 )2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = √1 + k2 √(x1 + x2 )2 ? 4x1 x2 = 3√2 .
此时,点 P (?3, 2) 到直线 AB : x ? y + 2 = 0 的距离

d=
所以 △P AB 的面积 S =

| ? 3 ? 2 + 2| √2

=

3√2 , 2

1 9 . |AB| ? d = 2 2

已知抛物线 y 2 = 2px (p > 0) .过动点 M (a, 0) 且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交 于不同的两点 A 、 B , |AB| ? 2p . (1)求 a 的取值范围; (2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N ,求 △NAB 面积的最大值. 解:(1)由题可得直线 l 的方程为 y = x ? a ,将 y = x ? a 代入 y 2 = 2px ,得

x2 ? 2 (a + p) x + a2 = 0.
设直线

l

与抛物线两个不同交点的坐标为

? 4(a + p)2 ? 4a2 > 0, ? ? x1 + x2 = 2 (a + p) , ? ? x 1 x 2 = a2 ,

A (x1 , y 1 ) 、 B (x2 , y 2 ) ,则



y 1 = x1 ? a , y 2 = x2 ? a ,所以

? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? |AB| = √(x1 ? x2 ) 2 + (y 1 ? y 2 ) 2 ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? = √2 [(x1 + x2 ) 2 ? 4x1 x2 ] ? ? ? ? ? ? ? ? ? = √8p (p + 2a).

因为 0 < |AB| ? 2p, 所以

? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 < √8p (p + 2a) ? 2p,

p p . <a?? 2 4 (2)设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q ,令 Q 坐标为 (x3 , y 3 ) ,则由中点坐标公
解得 ? 式,得

x3 =

x1 + x2 = a + p, 2 ( x 1 ? a) + ( x 2 ? a) y + y2 = = p, y3 = 1 2 2 |QM | 2 = (a + p ? a)2 + (p ? 0)2 = 2p 2 .

所以

又 △MNQ 为等腰直角三角形,所以 |QN | = |QM | = √2 p, 所以

又 △MNQ 为等腰直角三角形,所以 |QN | = |QM | = √2 p, 所以

S △NAB =


1 √2 √2 |AB| ? |QN | = p|AB| ? p ? 2p = √2 p 2 . 2 2 2

△NAB 面积最大值为 √2 p 2 .

3.直线与圆锥曲线的位置关系 描述: 直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切与相离三种,可以通过联立直线与圆锥曲线的方程,消 元后利用判别式的符号得到位置关系.需要注意的是,直线与椭圆的位置关系与它们的交点个数 有对应关系,即相交时有两个交点,相切时有一个交点,相离时没有交点;直线与双曲线的位置 关系没有这样的对应关系,直线与双曲线的相交时也可能只有一个交点,此时直线与双曲线的渐 近线平行;直线与抛物线相交时也可能只有一个交点,此时直线与抛物线的轴平行. 例题: 若直线 y = kx + 2 与双曲线 是______. 解: 将

x2 ? y 2 = 6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围

y = kx + 2 代入 x2 ? y 2 = 6 ,化简得 (1 ? k2 ) x2 ? 4kx ? 10 = 0 ,令 Δ = 0 , ? √? 15 可解得 k = ± ,又双曲线的渐近线的斜率为 ±1 , y = kx + 2 过定点 (0, 2) .可 3 ? √? 15 知 k ∈ (? , ?1) . 3
已知抛物线 y 2 = ?4x 的准线过椭圆 多有一个交点的充要条件是( )

(?

? √? 15 , ?1) . 3

y2 x2 + =1 4 b2

的焦点,则直线 y = kx + 2 与椭圆至

1 1 , ] 2 2 √2 √2 C. k ∈ [? , ] 2 2
A. k ∈ [? 解:A.

B. k ∈ (?∞, ?

1 1 ] ∪ [ , +∞) 2 2 √2 √2 D. k ∈ (?∞, ? ]∪ [ , +∞) 2 2 ? x2 y2

抛物线的准线是 x = 1,所以 c = 1 ,所以 b 2 = 3 .联立 ? 4 + 3 = 1, 消 y 整理得 ?

(3 + 4k

2

)x 2

+ 16kx + 4 = 0,因为直线与椭圆至多有一个交点,所以

y = kx + 2,

Δ = (16k)2 ? 4 × 4(3 + 4k2 ) ? 0,解得 k2 ?

1 1 1 ,即 k ∈ [? , ] . 4 2 2

4.动态圆锥曲线问题的参数求解 描述: 在圆锥曲线问题中有某些量不确定,需要设定某些参数,去求解这些参数的值或取值范围. 例题: 已知一条曲线 C 在 y 轴的右边,C 上每一点到点 F (1, 0) 的距离减去它到 y 轴距离的差都 是 1 .

(1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m ,对于过点 M (m, 0) 且与曲线 C 有两个交点 A 、

B 的任一直线, ?→ ? ?→ ? 都有 F A ? F B < 0 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:(1)设 P (x, y) 是曲线 C 上任意一点,那么点 P (x, y) 满足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? √(x ? 1)2 + y 2 ? x = 1 (x > 0) ,
化简得

y 2 = 4x (x > 0) .
(2)设过点 M (m, 0) (m > 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A (x1 , y 1 ),B (x2 , y 2 ) .设 的方程为 x = ty + m ,由

l

{ x2= ty + m, y = 4x,


y 2 ? 4ty ? 4m = 0,
一方面

Δ = 16 (t 2 + m) > 0,
另一方面



?→ ? ?→ ? FA ? FB < 0

+ = 4t, { y1 y2 y 1 y 2 = ?4m.


??①

(x1 ? 1) (x2 ? 1) + y 1 y 2 < 0,
整理得

x1 x2 ? (x1 + x2 ) + 1 + y 1 y 2 < 0,
又抛物线上的点满足

??②

x=

y2 ,于是不等式 ② 等价于 4
2 y1 y2 y2 y2 ? 2 + y 1 y 2 ? ( 1 + 2 ) + 1 < 0, 4 4 4 4

变形得

(y 1 y 2 )2 1 + y 1 y 2 ? [(y 1 + y 2 ) 2 ? 2y 1 y 2 ] + 1 < 0, 16 4
由 ① 式,不等式 ③ 等价于

??③

m 2 ? 6m + 1 < 4t 2 ,

??④

而对任意实数

t , 4t 2

的最小值为

0 ,所以不等式 ④ 对于任意的 t m 2 ? 6m + 1 < 0,

成立等价于

解得

3 ? 2√2 < m < 3 + 2√2 . m ,对于过点 M (m, 0) 且与曲线 C 有两个交点 A 、 B 的 ?→ ? ?→ ? 任一直线,都有 F A ? F B < 0 ,且 m 的取值范围是 (3 ? 2√2 , 3 + 2√2 ) .
由此可知,存在正数 设 A 、 B 是椭圆 3x 2 + y 2 = λ 上的两点,点 N (1, 3) 是线段 AB 的中点,线 段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C 、D 两点. (1)确定 λ 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (2)试判断是否存在这样的 λ ,使得 A 、 B 、 C 、 D 四点在同一个圆上?并 说明理由. 解:(1)解法1:依题意,可设直线 AB 的方程为 y = k (x ? 1) + 3 ,代入 3x2 + y 2 = λ , 整理得

(k2 + 3) x2 ? 2k (k ? 3) x + (k ? 3)2 ? λ = 0.
设 A (x 1 , y 1 ) , B (x 2 , y 2 ) , 则x 1 , x2 所以 是方程①的两个不同的根,

??①

Δ = 4 [λ (k2 + 3) ? 3 (k ? 3) 2 ] > 0,


??② x1 + x2 = 1 ,即 2

k +3 k (k ? 3) = k + 3 . 解得 k = ?1 ,代入②得 λ > 12 ,即λ 的取值范围是 (12, +∞). 于是,直线 AB 的 方程为 y ? 3 = ? (x ? 1),即x + y ? 4 = 0. 3 2 + y 1 2 = λ, 解法2:设 A (x 1 , y 1 ) , B (x 2 , y 2 ),则有{ x1 两式相减 3x2 2 + y 2 2 = λ,
2

x1 + x2 =

2k (k ? 3)
2

, 由 N (1, 3) 是线段 AB 的中点,得

3 (x1 ? x2 ) (x1 + x2 ) + (y 1 ? y 2 ) (y 1 + y 2 ) = 0. 3 (x 1 + x 2 ) . y1 + y2 因为 N (1, 3) 是 AB 的中点,所以x1 + x2 = 2 ,y 1 + y 2 = 6 ,从而kAB = ?1 . 又由 N (1, 3) 在椭圆内,所以λ > 3 × 1 2 + 3 2 = 12 , 所以λ 的取值范围是(12, +∞). 直线 AB 的方程为 y ? 3 = ? (x ? 1) ,即 x + y ? 4 = 0. (2)解法1:因为CD 垂直平分 AB ,所以,直线 CD 的方程为 y ? 3 = x ? 1,即 x ? y + 2 = 0, 代入椭圆方程,整理得 4x2 + 4x + 4 ? λ = 0. 又设 C (x 3 , y 3 ) , D (x 4 , y 4 ) , CD 的中点为 M (x0 , y 0 ) ,则x3 , x4 是方程③的两根,因 1 1 3 1 3 为x3 + x 4 = ?1 且 x 0 = (x3 + x4 ) = ? ,y 0 = x0 + 2 = , 即 M (? , ) . 2 2 2 2 2
依题意, x 1 ≠ x 2 ,所以kAB = ? 于是由弦长公式可得

? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 1 |CD| = √1 + (? ) ? |x3 ? x4 | = √2 (λ ? 3). k
将直线

??④

AB 的方程 x + y ? 4 = 0,代入椭圆方程得 4x2 ? 8x + 16 ? λ = 0 ? ? ⑤ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 同理可得 |AB| = √1 + k2 ? |x 1 ? x 2 | = √? 2 (λ ? 12). ? ? ⑥ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为当 λ > 12 时, √? 2 (λ ? 3) > √2 (λ ? 12),所以|AB| < |CD| . 假设存在 λ > 12, 使得 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,则 CD 必为圆的直 径,点 M 为圆心. 点 M 到直线 AB 的距离为 |x0 + y 0 ? 4| √2 3 ∣ 1 ∣ ∣? + ? 4∣ ∣ 2 ∣ 3√2 2 = = . 2 √2

d=

??⑦

于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

∣ AB ∣ 2 9 λ ? 12 λ?3 ∣ CD ∣ 2 |MA| 2 = |MB| 2 = d 2 + ∣ = = ∣ ∣ = + ∣ . ∣ 2 ∣ ∣ 2 ∣ 2 2 2
故当

λ > 12



A 、 B 、 C



D 四点均在以 M

为圆心,

的圆上. (注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:) A 、 B 、 C 、 D 共圆 ? △ACD 为直角三角形, A

|CD| 2

为半径

为直角

? |AN | = |CN | ? |DN |,


2

|CD| |CD| |AB| + d) ( ? d) . ( ) = ( 2 2 2
由⑥式知,⑧式左边 由④和⑦知,

2

??⑧

=

λ ? 12 , 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? √2 (λ ? 3) √2 (λ ? 3) 3√2 3√2 ⑧式右边 = ( + )( ? ) 2 2 2 2 λ?3 9 ? 2 2 λ ? 12 = . 2 =

所以⑧式成立,即 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆. 解法2:由解法1及 λ > 12 ,因为CD 垂直平分 AB ,所以直线 CD y ? 3 = x ? 1, 代入椭圆方程,整理得

方程为

4x2 + 4x + 4 ? λ = 0.
将直线

??③

AB 的方程 x + y ? 4 = 0 ,代入椭圆方程,整理得 4x2 ? 8x + 16 ? λ = 0. ??⑤

? ?? ? ? ? ? ? 2 ± √? ?1 ± √? λ ? 12 λ?3 , . x1,2 = x3,4 = 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?? ?, 3 ? 1 √? ?? ?) ,C ( ?1 ? √λ ? 3 , 3 ? √λ ? 3 ) , 不妨设 A (1 + √? λ? ? 12 λ? ? 12 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 + √λ ? 3 3 + √λ ? 3 D( , ). 2 2 ?? ? + √? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?→ ? 3 + √? λ? ? 12 λ ? 3 3 + √? λ ? 3 ? √? λ? ? 12 因为CA = ( , ) , 2 2 ?? ? ? √? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?→ ? 3 + √? λ? ? 12 λ ? 3 3 ? √? λ ? 3 ? √? λ? ? 12 , ). DA = ( 2 2 ?→ ? ?→ ? 计算可得 CA ? DA = 0 , 所以A 在以 CD 为直径的圆上.又 B 为 A 关于 CD 的对称点,所以A 、 B 、 C 、 D 四点共圆.(注:也可用勾股定理证明 AC ⊥ AD )
解③和⑤式可得

5.动态圆锥曲线问题的性质证明 描述: 通过代数的方法去探索与证明圆锥曲线的一些几何性质,比如满足某种条件的直线过定点,某些 线段的长度比值确定,证明某些点在同一条直线上等等. 例题: 如图,过抛物线 y 2 = 2px (p > 0) 的焦点 F 的直线与抛物线相交于 M , N 向准线 l 作垂线,垂足分别为 M1 , N1 .

M , N 两点,自

求证: F M 1 ⊥ F N1 ; 记 △F M M 1 , △F M 1 N1 , △F N N1 否成立,并证明你的结论. 解:(1)依题意,焦点为

的面积分别为

2 = 4S 1 S 3 S 1 , S 2 , S 3 ,试判断 S 2



设 M (x 1 , y 1 ) ,N (x 2 , y 2 ). 设直线 MN 的方程为

F(

p , 0) ,准线 l 2

的方程为 x = ?

p . 2

x = my +
则有

p 2

M 1 (?


? ? ? → ? ? ? → p p , y 1 ) , N1 (? , y 2 ) , F M1 = (?p, y 1 ) , F N1 = (?p, y 2 ) . 2 2

? x = my + p , ? 2 ? 2 y = 2px,


y 2 ? 2mpy ? p 2 = 0,
于是

+ = 2mp, { y1 y2 y 1 y 2 = ?p 2 ,
所以

? ? ? → ? ? ? → F M 1 ? F N1 = p 2 + y 1 y 2 = p 2 ? p 2 = 0,


F M1 ⊥ F N1 .
2 (2) S 2 = 4S 1 S 3 成立,证明如下: 设 M (x 1 , y 1 ) , N (x 2 , y 2 ) ,M 1 N1 与 x 的交点是 F1 ,则由抛物线的定义得

|M M 1 | = |MF | = x1 +
于是

p p , |N N1 | = |NF | = x2 + , 2 2

1 1 p ? |M M1 | ? |F1 M1 | = (x1 + ) |y 1 | , 2 2 2 1 1 S 2 = ? |M1 N2 | ? |F F1 | = p |y 1 ? y 2 | , 2 2 1 1 p S 3 = ? |N N1 | ? |F1 N1 | = (x2 + ) |y 2 | . 2 2 2 S1 =
因为
2 = 4S 1 S 3 , S2

可得

(
可化为

2 1 p 1 p 1 p |y 1 ? y 2 |) = 4 × (x1 + ) |y 1 | ? (x2 + ) |y 2 | , 2 2 2 2 2

1 2 p p2 ] |y 1 y 2 | , p [(y 1 + y 2 ) 2 ? 4y 1 y 2 ] = [x1 x2 + (x1 + x2 ) + 4 2 4
再将

? ? ? ? ?

p ? ? x1 = my 1 + , 2 和{ y 1 + y 2 = 2mp, ? y 1 y 2 = ?p 2 , ? x2 = my + p , ? 2 2
代入上式化简可得

p 2 (m 2 p 2 + p 2 ) = p 2 (m 2 p 2 + p 2 ) ,
而此式恒成立.故
2 = 4S 1 S 3 S2

成立.

四、课后作业

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1. 设 F 为抛物线 C : y 2 = 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30? 的直线交 C 于 A, B 两点,则 |AB| =

(

) ? ? √30 A. 3
答案: C

B.6

C.12

D.7√3

2. 已知抛物线 y 2 = 8x 的焦点为 F ,直线 y = k (x ? 2) 与此抛物线相交于 P , Q 两点,则

1 1 + = ( |F P | |F Q| 1 A. 2
答案: A

)
B.1 C.2 D.4

3. 过点 M (?2, 0) 的直线 m 与椭圆

x2 + y 2 = 1 交于 P1 , P2 ,线段 P1 P2 的中点为 P ,设直 2 线 m 的斜率为 k1 ( k1 ≠ 0 ),直线 OP 的斜率为 k2 ,则 k1 k2 = ( )
A.2
答案: D

B.?2

C.

1 2

D.?

1 2

4. 直线 y = x + 1 与双曲线
答案: 解析:

y2 x2 ? = 1 相交于两点 A 、 B ,则 |AB| = 2 3



4√6

?y = x + 1 ,消去 y 得: x2 ? 4x ? 8 = 0 ,设 A (x1 , y 1 ) , B (x2 , y 2 ) , y2 ? =1 2 3 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 则 x1 + x 2 = 4 , x 1 x 2 = ?8 , |AB| = √(x2 ? x1 ) 2 + (y 2 ? y 1 ) 2 ,
联立? x 2 ?

= +1 { y 1 x1 ? y 2 ? y 1 = x2 ? x1 , y 2 = x2 + 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 4√6 |AB| = √? 1? + 1 |x ? x | = √2 × √(x + x ) 2 ? 4x x = √2 × √? 16 + 32
2 1 1 2 1 2

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