2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试: 正弦定理和余弦定理的应用

课时跟踪检测(二十七) 正弦定理和余弦定理的应用

一抓基础,多练小题做到眼疾手快

1.如图,两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站南偏西 40°,灯塔 B 在观察站南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( )

A.北偏东 10°

B.北偏西 10°

C.南偏东 80°

D.南偏西 80°

解析:选 D 由条件及图可知,∠A=∠B=40°,

又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,

所以∠DBA=10°,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°. 2.如图,测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平

面内的两个测点 C 与 D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30 m,

并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°,则塔高 AB 等于( )

A.5 6 m

B.15 3 m

C.5 2 m

D.15 6 m

解析:选 D 在△BCD 中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.

由正弦定理得 BC = 30 , sin 30° sin 135°

解得 BC=15 2(m).

在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB=15 2× 3=15 6(m).

3.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达灯塔 P 的南偏西 75°,距灯塔 68 n mile 的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则此船航行的速度为________n mile/h.

解析:如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.

在△PMN

中, MN = PM , sin 120° sin 45°

3 ∴MN=68× 2 =34 6 n mile.
2 2

又由 M 到 N 所用的时间为 14-10=4 h,

∴此船的航行速度 v=344 6=172 6 n mile/h.

答案:172 6

4.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处,且 A 到 C 的距离为 2 km,B 船在灯塔 C 北偏西

40°,A,B 两船的距离为 3 km,则 B 到 C 的距离为________ km. 解析:由条件知,∠ACB=80°+40°=120°,设 BC=x km

则由余弦定理知 9=x2+4-4xcos 120°,∵x>0,∴x= 6-1. 答案: 6-1 5.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶, 在点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30°方向上,15 min 后到 点 B 处,测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75°方向上,则点 B 与电 视塔的距离是________km. 解析:如题图,由题意知 AB=24×1650=6,在△ABS 中,∠BAS

=30°,AB=6,∠ABS=180°-75°=105°,∴∠ASB=45°,由正弦定理知sinB3S0°=sinAB45°,

∴BS=ABsi·nsi4n53°0°=3 2(km).

答案:3 2 二保高考,全练题型做到高考达标

1.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( )

A.10 2 海里

B.10 3 海里

C.20 3 海里

D.20 2 海里

解析:选 A 如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20 海里,

∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得sinBC30°=sinAB45°,

解得 BC=10 2(海里). 2.如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d=0.6 km,一艘客船从码头 A 出发匀速驶往 河对岸的码头 B.已知 AB=1 km,水的流速为 2 km/h,若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的 最短时间为 6 min,则客船在静水中的速度为( )

A.8 km/h C.2 34 km/h

B.6 2 km/h D.10 km/h

解析:选 B 设 AB 与河岸线所成的角为 θ,客船在静水中的速度为 v km/h,由题意知,
sin θ=01.6=35,从而 cos θ=45,所以由余弦定理得??110v??2=??110×2??2+12-2×110×2×1×45,
解得 v=6 2. 3.如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75°,30°,此时气
球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

A.240( 3-1)m

B.180( 2-1)m

C.120( 3-1)m

D.30( 3+1)m

解析:选 C ∵tan 15°=tan (60°-45°)=1t+anta6n0°6-0°ttaann4455°°=2- 3,∴BC=60tan 60°

-60tan 15°=120( 3-1)(m),故选 C.

4.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某

人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°,沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到

达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°,则水柱的高度是( )

A.50 m

B.100 m

C.120 m

D.150 m

解析:选 A 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60°,AC=h,

AB=100,BC= 3h,根据余弦定理得,( 3h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即 h2+50h-

5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m.

5.(2018·厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 其中 a 为最大边,如果 sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角 A 的取值范围为( )

A.??0,π2 ??

B.??π4,π2 ??

C.??π6,π3 ??

D.??π3,π2 ??

解析:选 D 由题意得 sin2A<sin2B+sin2C,

再由正弦定理得 a2<b2+c2,

即 b2+c2-a2>0.

则 cos A=b2+2cb2c-a2>0,

∵0<A<π,∴0<A<π2. 又 a 为最大边,∴A>π3.

因此角 A 的取值范围是??π3,π2??.
6.如图所示,一艘海轮从 A 处出发,测得灯塔在海轮的北偏东 15°方向,与海轮相距 20 海里的 B 处,海轮按北偏西 60°的方向航行 了 30 分钟后到达 C 处,又测得灯塔在海轮的北偏东 75°的方向,则 海轮的速度为________海里/分钟.
解析:由已知得∠ACB=45°,∠B=60°,

由正弦定理得siAnCB=sin∠ABACB,

所以 AC=sAinB∠·sAinCBB=20×sinsi4n56°0°=10 6,

所以海轮航行的速度为1030 6= 36(海里/分钟).

答案:

6 3

7.如图,为了测量河对岸 A,B 两点之间的距离,观察者找到一

个点 C,从 C 点可以观察到点 A,B;找到一个点 D,从 D 点可以观

察到点 A,C;找到一个点 E,从 E 点可以观察到点 B,C.测量得到:

CD=2,CE=2 3,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=48.19°,∠ BCE = 75° , ∠ E = 60° , 则 A , B 两 点 之 间 的 距 离 为
______.??取cos 48.19°=23??

解析:依题意知,在△ACD 中,∠DAC=30°,由正弦定理得 AC=CDsinsin304°5°=2 2.在

△BCE 中,∠CBE=45°,由正弦定理得 BC=CsEinsin456°0°=3 2.在△ABC 中,由余弦定理得

AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=10,解得 AB= 10.

答案: 10 8.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于 AO 的小路 CD.已知 某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 min,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 min. 若此人步行的速度为 50 m/min,则该扇形的半径的长度为________m. 解析:设该扇形的半径为 r(m),连接 CO,如图所示.

由题意,得 CD=150(m),OD=100(m),∠CDO=60°, 在△CDO 中,由余弦定理,得 CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°=OC2, 即 1502+1002-2×150×100×12=r2, 解得 r=50 7(m). 答案:50 7 9.已知在东西方向上有 M,N 两座小山,山顶各有一座发射塔 A, B,塔顶 A,B 的海拔高度分别为 AM=100 m 和 BN=200 m,一测量 车在小山 M 的正南方向的点 P 处测得发射塔顶 A 的仰角为 30°,该测 量车向北偏西 60°方向行驶了 100 3 m 后到达点 Q,在点 Q 处测得发 射塔顶 B 处的仰角为 θ,且∠BQA=θ,经测量 tan θ=2,求两发射塔 顶 A,B 之间的距离. 解:在 Rt△AMP 中,∠APM=30°,AM=100,∴PM=100 3. 连接 QM(图略),在△PQM 中,∠QPM=60°,PQ=100 3, ∴△PQM 为等边三角形,∴QM=100 3. 在 Rt△AMQ 中,由 AQ2=AM2+QM2,得 AQ=200. 在 Rt△BNQ 中,tan θ=2,BN=200, ∴BQ=100 5,cos θ= 55. 在△BQA 中,BA2=BQ2+AQ2-2BQ·AQ·cos θ =(100 5)2, ∴BA=100 5. 即两发射塔顶 A,B 之间的距离是 100 5 m. 10.(2018·哈尔滨模拟)“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员救 出,地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为 B, C,D).当返回舱在距地面 1 万米的 P 点时(假定以后垂直下落,并在 A 点着陆),C 救援中 心测得飞船位于其南偏东 60°方向,仰角为 60°,B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30°方向, 仰角为 30°,D 救援中心测得着陆点 A 位于其正东方向.
(1)求 B,C 两救援中心间的距离; (2)求 D 救援中心与着陆点 A 间的距离.

解:(1)由题意知 PA⊥AC,PA⊥AB,则△PAC,△PAB 均为直角三角形.

在 Rt△PAC 中,PA=1,∠PCA=60°,解得 AC= 33,

在 Rt△PAB 中,PA=1,∠PBA=30°,解得 AB= 3,

又∠CAB=90°,BC= AC2+BC2= 330万米.

(2)sin ∠ACD=sin ∠ACB= 3 ,cos∠ACD=- 1 ,

10

10

又∠CAD=30°,所以 sin∠ADC=sin(30°+∠ACD)=3 3-1, 2 10

在△ADC 中,由正弦定理,sin∠ACADC=sin∠ADACD,

得 AD=ACsi·ns∠in∠ADACCD=9+13 3万米.

三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1.如图,一位同学从 P1 处观测塔顶 B 及旗杆顶 A,得仰角分别

为 α 和 90°-α.后退 l m 至点 P2 处再观测塔顶 B,仰角变为原来的一

半,设塔 CB 和旗杆 BA 都垂直于地面,且 C,P1,P2 三点在同一条 水 平 线 上 , 则 塔 BC 的 高 为 ________m ; 旗 杆 BA 的 高 为

________m.(用含有 l 和 α 的式子表示)

解析:在 Rt△BCP1 中,∠BP1C=α,

在 Rt△P2BC 中,∠P2=α2.

∵∠BP1C=∠P1BP2+∠P2,

∴∠P1BP2=α2,即△P1BP2 为等腰三角形,BP1=P1P2=l,

∴BC=lsin α.

在 Rt△ACP1 中,CAPC1=lcAoCs α=tan(90°-α),∴AC=lscions2αα,则 BA=AC-BC=lscions2αα-

lsin

α=l?cos2sαin-αsin2α?=lcsoins

2α α.

答案:lsin α

lcos 2α sin α

2.(2018·杭州模拟)如图所示,某镇有一块空地△OAB,其中 OA=3 km,

OB=3 3 km,∠AOB=90°.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景 点,拟在中间挖一个人工湖△OMN,其中 M,N 都在边 AB 上,且∠MON

=30°,挖出泥土堆放在△OAM 地带上形成假山,剩下的△OBN 地带开设 儿童游乐场.为安全起见,需在△OAN 的一周安装防护网.

(1)当 AM=32 km 时,求防护网的总长度; (2)为节省投入资金,人工湖△OMN 的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使△ OMN 的面积最小?最小面积是多少? 解:(1)∵OA=3 km,OB=3 3 km,∠AOB=90°, ∴A=60°,AB=6 km. 在△OAM 中,由余弦定理得:OM2=OA2+AM2-2OA·AM·cos A=247.

∴OM=3 2 3 km.

3

33

由正弦定理得:sin∠AMAOM=sOinMA,即sin∠2AOM=

2, 3

2

∴sin∠AOM=12.∴∠AOM=30°.

∴∠AON=∠AOM+∠MON=60°.

∴△OAN 是等边三角形.

∴△OAN 的周长 l=3OA=9.

∴防护网的总长度为 9 km.

(2)设∠AOM=θ(0°<θ<60°),则∠AON=θ+30°,∠OMA=120°-θ,∠ONA=90°-

θ.

在△OAM 中,由正弦定理得sOinMA=sin∠OOAMA,

即OM3 =sin?1230°-θ?=sin?603°+θ?. 2

∴OM=2sin?3603°+θ?,
在△AON 中,由正弦定理得sOinNA=sin∠OAONA, 即ON3 =sin?903°-θ?=co3s θ,
2

∴ON=23cos3θ,

∴S△OMN=12OM·ON·sin∠MON

= 16cos

θs2in7?θ+60°?=8sin?2θ+2670°?+4

. 3

∴当且仅当 2θ+60°=90°,即 θ=15°,△OMN 的面积取最小值为8+247 3=27?2-4 3?

km2.


相关文档

2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试: 正弦定理和余弦定理
2020年浙江高考数学一轮复习:正弦定理和余弦定理
2020届高考数学(文)总复习课堂测试:正弦定理和余弦定理(二)
2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试: 二项式定理
2020年浙江高考数学一轮复习: 正弦定理和余弦定理的应用
2020届高考数学(文)总复习课堂测试: 正弦定理和余弦定理(一)
2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试: 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(浙江专版)2019年高考数学一轮复习 专题4.6 正弦定理和余弦定理(测)
2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试: 平面向量的基本定理及坐标表示
(浙江专版)2019年高考数学一轮复习专题4.6正弦定理和余弦定理(测)
电脑版