2014-2015高二文科不等式检测

2014-2015 学年度华侨中学高二文科数学《不等式》检测
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.不等式 6x2+x-2≥0 的解集是( (A){x|x≥ } (C){x|- ≤x≤ }
2 3 1 2 1 2

) (B){x|x≤- } (D){x|x≤- 或 x≥ } )
?a ? 0 ?? ? 0
2 3 1 2 2 3

2.二次不等式 ax2+bx+c<0 的解集是全体实数的条件是( (A) ?
?a ? 0 ?? ? 0

(B) ?

?a ? 0 ?? ? 0

(C) ?

?a ? 0 ?? ? 0

(D) ?

3.不等式 x-2y≥0 表示的平面区域是(

)

4.点 A(-2, b)不在平面区域 2x-3y+5≥0 内, 则 b 的取值范围是( (A)b≤
1 3

)

(B)b<1

(C)b>

1 3

(D)b>-9
2 且位于 , 2

5. 下面给出的四个点中,到直线 x -y+1 =0 的距离为
?x ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域内的点是( ? ?x ? y ? 1 ? 0

)

(A)(1,1) (C)(-1,-1)

(B)(-1,1) (D)(1,-1)

1

? x ? y ? 6, 6.若变量 x,y 满足约束条件 ? ? x ? 3y ? ?2, 则 z=2x+3y 的最小值为 ? x ? 1, ?

(

) (B)14
x

(A)17

(C)5

(D)3

? x ? y ? 3 ? 0, 7.若函数 y=2 图象上存在点(x,y)满足约束条件 ? ? x ? 2y ? 3 ? 0, 则实数 m ? x ? m, ?

的最大值为( (A)
1 2

) (B)1
1 x

(C)
4 y

3 2

(D)2 )

8.设 x,y 为正数,则(x+y) ( ? ) 的最小值为( (A)7 (B)8
2 x 8 y

(C)9

(D)10 )

9.若 x>0,y>0,且 ? ? 1, 则 xy 有( (A)最大值 64 (C)最小值
1 2

(B)最小值

1 64

(D)最小值 64 ) (D)18 3

10.设 x,y∈R,且 x+y=5,则 3x+3y 的最小值是( (A)10 (B)6 3 (C)4 6

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
? x ? 0, 2 2 11.已知 x, y 满足约束条件 ? ? y ? 0, 则(x+3) +y 的最小值为______. ? x ? y ? 1, ?

12. 关于 x 的不等式 x2-mx+5≤4 的解集只有一个元素,则实数 m= _______.
2

13.解不等式组 ? 14.函数 3x 2+

?3x 2 ? x-2 ? 0, ? 的解集是________. 2 15x ? 9 ? 0 ? ? 4x -

6 的最小值是________. x ?1
2

三、解答题(每小题 20 分,共 80 分) 15.已知 x2+px+q<0 的解集是{x|- <x< } ,解关于 x 的不等式 qx2+px+1>0.
1 2 1 3

?0 ? x ? 1, 16.设 z=2y-2x+4,已知 x,y 满足条件 ? ?0 ? y ? 2, 求 z 的最大值和 ? 2y ? x ? 1, ?

最小值.

3

17.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐 .已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C; 一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单 位的碳水化合物, 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一 个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元.那么要满足上述的 营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐 和晚餐?

18.设函数 f(x)=x+

a ,x∈[0,+∞). x ?1

(1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最小值; (2)当 0<a<1 时,证明函数 f(x)的单调性,并求其最小值.

4

答案 1.D 2.D 3.D 4.C 5.C 6.C 7.B 8.C 9.D 10.D 11.10 12.〒2 13.{x|x>3 或 x≤-1} 14.6 2 -3 15.【解析】由已知得 x1=- ,x 2= 是方程 x2+px+q=0 的根, ?-p=- + , q=- ? , ?p= ,q=- .
1>0, ≧不等式 qx2+px+1>0,即 ? x 2+ x+ 1 6 1 6 1 6 1 6 1 2 1 3 1 1 2 3 1 2 1 3

?x2-x-6<0,?-2<x<3, 即不等式 qx2+px+1>0 的解集为{x|-2<x<3}.

?0 ? x ? 1, 16.【解析】作出满足不等式组 ? ?0 ? y ? 2, 的可行域, ? 2y ? x ? 1 ?

如图所示的阴影部分.

作直线 l:2y-2x=t. 当 l 经过点 A(0,2)时,zmax=2〓2-2〓0+4=8; 当 l 经过点 B(1,1)时,zmin=2〓1-2〓1+4=4.
5

17.【解析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为 x 个单位和 y 个单位,所花的费用为 z 元,则依题意得 z=2.5x+4y,且 x,y 满 足
? x ? 0, y ? 0, ? x ? 0, y ? 0, ?12x ? 8y ? 64, ?3x ? 2y ? 16, ? ? 即? ? ?6x ? 6y ? 42, ? x ? y ? 7, ? ?6x ? 10y ? 54, ? ?3x ? 5y ? 27.

作出可行域如图, 让目标函数表示的直线 2.5x+4y=z 在可行域上平 移, 由此可知 z=2.5x+4y 在 B(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐,就可满 足要求.

18.【解析】(1)把 a=2 代入 f(x)=x+ 得 f(x)= x+
2 2 =x + 1+ - 1. x ?1 x ?1

a 中, x ?1

由于 x∈[0,+≦),所以 x+1>0, 所以 f(x)≥2 2 -1. 当且仅当 x+1= 2 2 -1.

2 >0. x ?1

2 ,即 x= 2 -1 时,f(x)取得最小值,最小值为 x ?1

6

(2)因为 f(x)=x+ 等号取不到)

a a =x+1+ -1,(此时再利用(1)的方法, x ?1 x ?1

设 x1>x2≥0,则 f(x1)-f(x2)
=x1+ a a -x 2- x1 ? 1 x2 ?1

=(x1-x 2 ) [ 1?

? x1 ? 1?? x 2 ? 1?

a

] .

由于 x1>x2≥0,所以 x1-x2>0,x1+1>1,x2+1≥1. 所以(x1+1)( x2+1)>1.而 0<a<1, 所以
a <1.所以 f(x1)-f(x2)>0. (x1 ? 1)( x 2 ? 1)

即 f(x1)>f(x2),所以 f(x)在[0,+≦)上单调递增. 所以 f(x)min=f(0)=a.

7


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