高中数学人教B版选修2-3课件:1.3.1 二项式定理_图文

1.3 第 一 章 二 项 式 定 理 1.3.1 二 项 式 定 理 理解教材新知 考点一 把握热点考向 应用创新演练 考点二 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理 问题 1:我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项 式的乘法推导(a+b)3、(a+b)4 的展开式. 提示: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 , (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2+4ab3+b4. 问题 2:上述两个等式的右侧有何特点? 提示:(a+b)3 的展开式有 4 项,每一项的次数是 3; (a+b)4 的展开式有 5 项,每一项的次数为 4. 问题 3:你能用组合的观点说明(a+b)4 是如何展开的吗? 提示: (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b). 由多项式的乘法法 则知, 从每个(a+b)中选 a 或选 b 相乘即得展开式中的一项. 若都 4 0 1 3 选 a,则得 C0 4a b ;若有一个选 b,其余三个选 a,则得 C4a b; 2 2 0 4 若有两个选 b, 其余两个选 a, 则得 C2 若都选 b, 则得 C4 4a b ; 4a b . 问题 4: 能用类比方法写出(a+b)n(n∈N+)的展开式吗? 0 n n 1 n 提示:能,(a+b)n=Cn a +C1 b+…+Cn na nb . - 1.二项式定理 0 n 1 n 1 2 n 2 2 r n r r C a + C a b + C a b +…+ C b +… n n n na 公式(a+b) = n - - - n n + C nb (n∈N+) 所表示的规律叫做二项式定理. _______________ 2.相关概念 (1)公式右边的多项式叫做(a+b)n 的二项展开式. r C (2)各项的系数 n(r=0,1,2,…,n) 叫做展开式的二项式系数. r n-r r C (3)展开式中的 na b 叫做二项展开式的通项,记作: Tr+1 , 它表示展开式的第 r+1 项. (4)在二项式定理中,如果设 a=1,b=x,则得到公式(1+x)n= 0 1 2 2 r r n n C + C x + C x +…+ C x +…+ C n n n n nx ______________________________________. 展开式具有以下特点: (1)项数:共有 n+1 项; 0 2 r n (2)二项式系数:依次为 Cn ,C1 n,Cn,…,Cn,…,Cn; (3)每一项的次数是一样的, 即为 n 次, 展开式依 a 的降幂、 b 的升幂排列展开; n-r r (4)通项 Tr+1=Cr a b 是第 r+1 项,而不是第 r 项. n 二项式定理的正用、逆用 [例 1] ? 3 ?5 (1)用二项式定理展开?2x-2x2? . ? ? n 1 n- 1 n- 2 (2) 化简: C0 + C2 -…+ ( - n (x + 1) - Cn (x + 1) n (x + 1) n-r n n 1)rCr ( x + 1) +…+ ( - 1) Cn. n [思路点拨] (1)二项式的指数为 5,可直接按二项式定理展 开;(2)可先把 x+1 看成一个整体,分析结构形式,逆用二项式 定理求解. [精解详析] ? 3 ?5 ?- 2? ? 2x ? ? ? 3 ?5 3 ? 0 5 1 4 ?- 2?+…+ C5 (1)?2x-2x2? =C5(2x) +C5(2x) · 5 ? ? ? 2x ? 180 135 405 243 =32x -120x + x - 4 + 7 - . x 8x 32x10 5 2 n 1 n-1 2 n-2 2 (2) 原式= C 0 ( x + 1) + C ( x + 1) ( - 1) + C ( x + 1) ( - 1) n n n r n n n +…+Cn (x+1)n-r(-1)r+…+Cn n(-1) =[(x+1)+(-1)] =x . [一点通] 1.(a+b)n 的二项展开式有 n+1 项,是和的形式,各项的幂 指数规律是: (1)各项的次数等于 n; (2)字母 a 按降幂排列, 从第一项起, 次数由 n 逐项减 1 直到 0; 字母 b 按升幂排列,从第一项起,次数由 0 逐项加 1 直到 n. 2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注 意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢. ? 1.求? ?3 ? 1? 4 x+ ? 的展开式. ? x? ? 1? ? ?4 0 4 1 3 1 2 解 : 法 一 : ?3 x+ ? = C 4 (3 x ) + C 4 (3 x ) · + C 4 x? x ? ? 1 ? ? ? 1? ?2 ? ?3 3 4? 1 ?4 (3 x) · ? x? +C4(3 x)? x? +C4? x? ? ? ? ? ? ? 12 1 2 =81x +108x+54+ x + 2. x 4 ? ? ? 3 x + 1 ? 1 ?4 3 x + 法二:? = ? ? x2 x? ? 1 = 2(81x4+108x3+54x2+12x+1) x 12 1 2 =81x +108x+54+ x + 2. x 2? ? 3 2 4 3 5 4 6 2.求 C2 + 9C + 9 C + 9 C + 9 C6的值. 6 6 6 6 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 解:原式= 2(9 C6+9 C6+9 C6+9 C6+9 C6) 9 1 0 1 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 = 2(C6+9 C6+9 C6+9 C6+ 9 C6+9 C6+9 C6)- 2(C6+ 9 9 91C1 6) 1 1 1 6 6 = 2(1+9)

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