2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试: 正弦定理和余弦定理

课时跟踪检测(二十六) 正弦定理和余弦定理

一抓基础,多练小题做到眼疾手快

1.(2019·绍兴模拟)在△ABC 中,已知内角 C 为钝角,sin C=35,AC=5,AB=3 5,

则 BC=( )

A.2

B.3

C.5

D.10

解析:选 A 由题意知,cos C=-45.由余弦定理,得-45=25+1B0CB2C-45,解得 BC=2(负

值舍去).

2.(2019·台州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC

的面积 S=2 5cos C,a=1,b=2 5,则 c=( )

A. 15

B. 17

C. 19

D. 21

解析:选 B 由题意得,S=12absin C=2 5cos C,所以 tan C=2,所以 cos C= 55,由 余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos C=17,所以 c= 17.

3.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60°,则 BC 边上的高等于( )

3 A. 2
3+ 6 C. 2

33 B. 2
3+ 39 D. 4

解析:选 B 由余弦定理得( 7)2=22+AB2-2×2AB·cos 60°,即 AB2-2AB-3=0,

解得

AB=3(负值舍去),故

BC

边上的高为

ABsin

60°=3

2

3 .

4.(2018·杭州二模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 sin A∶sin

B∶sin C=2∶3∶4,则 cos C=________;当 a=1 时,△ABC 的面积 S=________.

解析:由正弦定理可知,a∶b∶c=2∶3∶4,设 a=2t,b=3t,c=4t,由余弦定理可

得 cos C=4t2+192t2t-2 16t2=-14,所以 sin C= 415.因为 a=1,所以 b=32,所以 S=12absin C

=3

15 16 .

答案:-14

3 15 16

5.在△ABC 中,∠C=90°,M 是 BC 的中点,若 sin∠BAM=13,则 sin∠BAC=________.

解析:在△ABM 中,由正弦定理得sin∠BMBAM=sin∠ABBMA=cos∠ABMAC,设角 A,B,

C 所对的边分别为 a,b,c,所以32a=c a22+b 4b2,整理得(3a2-2c2)2=0,ac22=23,故 sin∠

BAC=ac=

6 3.

答案:

6 3

二保高考,全练题型做到高考达标

1.(2019·温州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 asin A=bsin B+(c-b)sin C,则角 A 的大小为( )

A.π6

B.π4

π



C.3

D. 3

解析:选 C ∵asin A=bsin B+(c-b)sin C,∴由正弦定理可得 a2=b2+c2-bc.由余弦

定理可得 cos A=b2+2cb2c-a2=12,∴A=π3.

2.在△ABC 中,若 lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,则△ABC 的形状是( )

A.直角三角形

B.等腰直角三角形

C.等边三角形

D.等腰三角形

解析:选 D 由条件得cossiBnsAin C=2,即 2cos Bsin C=sin A.由正、余弦定理得

2·a2+2ca2c-b2·c=a,整理得 c=b,故△ABC 为等腰三角形.

3.已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1,b= 3, 则 c=( )

A.2 3

B.2

C. 2

D.1

解析:选 B

由已知及正弦定理得sin1 A=sin3B=sin

32A=2sin

3 Acos

A,所以

cos

A=

23,

A=30°.由余弦定理得 12=( 3)2+c2-2c× 3× 23,整理得 c2-3c+2=0,解得 c=1 或 c

=2.当 c=1 时,△ABC 为等腰三角形,A=C=30°,B=2A=60°,不满足内角和定理,故 c=2.
4.(2018·浙江三地市联考)设锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 A

=2B,则ab的取值范围是( )

A.(0,1)

B.(1, 3)

C.( 2, 3)

D.(0,2)

解析:选 C 因为 A=2B,所以π6<B<π4.由正弦定理,得ab=ssiinn AB=ssiinn2BB=2cos B∈( 2,

3). 5.(2019·天台模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 cos A=13,

3sin B=2sin C,且△ABC 的面积为 2 2,则 a=( )

A.2 3

B.3

C.2

D. 3

解析:选 B 因为 cos A=13,所以 sin A=23 2.因为 3sin B=2sin C,所以 3b=2c.所以

S△ABC=2 2=12bcsin A=34b2×2 3 2,解得 b=2,所以 c=3.由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=4+9-2×2×3×13=9,解得 a=3.

6.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2,cos C=-14,3sin A= 2sin B,则 c=________.
解析:∵3sin A=2sin B,∴3a=2b. 又 a=2,∴b=3. 由余弦定理可知 c2=a2+b2-2abcos C,
∴c2=22+32-2×2×3×??-14??=16,
∴c=4. 答案:4 7.(2019·余姚中学模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 2cos A(bcos C+ccos B)=a= 13,△ABC 的面积为 3 3,则 A=________,b+c=________. 解析:由正弦定理可得,2cos A(sin Bcos C+sin Ccos B)=2cos Asin A=sin A,所以 cos

A=12,解得 A=π3.因为 S△ABC=3 3=12bcsin A= 43bc,所以 bc=12.由余弦定理可得,13= b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,所以(b+c)2=49,解得 b+c=7.
答案:π3 7

8.在△ABC 中,B=60°,AC= 3,则△ABC 的周长的最大值为________.

解析:由正弦定理得siBnCA=sAinBC=sAinCB=sin 630°,即siBnCA=siAnBC=2,则 BC=2sin A,

AB=2sin C,又△ABC 的周长 l=BC+AB+AC=2sin A+2sin C+ 3=2sin(120°-C)+2sin

C+ 3=2sin 120°cos C-2cos 120°sin C+2sin C+ 3= 3 cos C+3sin C+ 3=2 3

? ?

3 2 sin

C+12cos

C??+

3=2

3sin??C+π6??+

3,故△ABC 的周长的最大值为 3

3.

答案:3 3 9.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知(a-3b)·cos C=c(3cos B- cos A). (1)求ssiinn BA的值;

(2)若 c= 7a,求角 C 的大小. 解:(1)由正弦定理得,(sin A-3sin B)cos C=sin C(3cos B-cos A), ∴sin Acos C+cos Asin C=3sin Ccos B+3cos Csin B, 即 sin(A+C)=3sin(C+B),即 sin B=3sin A,∴ssiinn AB=3.

(2)由(1)知 b=3a,∵c= 7a, ∴cos C=a2+2ba2b-c2=a22+×9aa×2-37aa2=36aa22=12,

∵C∈(0,π),∴C=π3. 10.(2019·湖州模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知(sin A +sin B+sin C)(sin B+sin C-sin A)=3sin Bsin C. (1)求角 A 的值;

(2)求 3sin B-cos C 的最大值. 解:(1)因为(sin A+sin B+sin C)(sin B+sin C-sin A)=3sin Bsin C, 由正弦定理,得(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 所以 b2+c2-a2=bc, 所以 cos A=b2+2cb2c-a2=12,

因为 A∈(0,π),所以 A=π3.

(2)由 A=π3,得 B+C=23π,

所以 3sin B-cos C= 3sin B-cos??23π-B??



3sin

B-??-12cos

B+

3 2 sin

B ??

=sin??B+π6??.

因为 0<B<23π,所以π6<B+π6<56π,

当 B+π6=π2,即 B=π3时, 3sin B-cos C 的最大值为 1.

三上台阶,自主选做志在冲刺名校

1.(2019·嘉兴模拟)已知△ABC 的三边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C.若 a2+2b2

=c2,则ttaann CA=________,tan B 的最大值为________.

解析:因为 a2+2b2=c2>a2+b2,所以 C 为钝角.

b2+c2-a2

所以ttaann

CA=scions

Ccos Csin

AA=c·a2+2bb2c-c2=ba22+ +cb22--ac22=-3bb22=-3.

a· 2ab

所以 tan C=-3tan A,

则 tan B=-tan(A+C)=ttaannAAt+antaCn-C1=1+2t3atnanA2A

=1 tan

2 A+3tan

≤2= A 23

33,

当且仅当 tan A= 33时取等号,



tan

B

的最大值为

3 3.

答案:-3

3 3

2.(2019·杭州名校联考)在△ABC 中,角 A,B,C 的所对的边分别为 a,b,c.已知 2ccos

B=2a-b.

(1)求角 C 的大小;

(2)若??CA―→-12CB―→ ??=2,求△ABC 面积的最大值.

解:(1)因为 2ccos B=2a-b,

所以 2sin Ccos B=2sin A-sin B=2sin(B+C)-sin B,

化简得 sin B=2sin Bcos C,

因为 sin B≠0,所以 cos C=12.

因为 0<C<π,所以 C=π3.

(2)取 BC 的中点 D,则??―C→A -12―C→B ??=|―D→A |=2.

在△ADC 中,AD2=AC2+CD2-2AC·CDcos C,

即有 4=b2+??a2??2-a2b≥2

a24b2-a2b=a2b,

所以 ab≤8,当且仅当 a=4,b=2 时取等号.

所以 S△ABC=12absin C= 43ab≤2 3,

所以△ABC 面积的最大值为 2 3.


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