2020年浙江高考数学一轮复习课堂测试: 平面向量的基本定理及坐标表示

课时跟踪检测(二十九) 平面向量的基本定理及坐标表示

一抓基础,多练小题做到眼疾手快

1.在平行四边形 ABCD 中,AC 为对角线,若―A→B =(2,4),―A→C =(1,3),则―B→D =( )

A.(-2,-4)

B.(-3,-5)

C.(3,5)

D.(2,4)

解析:选 B 由题意得―B→D =―A→D -―A→B =―B→C -―A→B =(―A→C -―A→B )-―A→B =―A→C -2―A→B

=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).

2.已知 A(-1,-1),B(m,m+2),C(2,5)三点共线,则 m 的值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:选 A ―A→B =(m,m+2)-(-1,-1)=(m+1,m+3),

―A→C =(2,5)-(-1,-1)=(3,6),

∵A,B,C 三点共线,

∴―A→B ∥―A→C ,∴3(m+3)-6(m+1)=0,

∴m=1.故选 A.

3.如图,在△OAB 中,P 为线段 AB 上的一点,―O→P =x―O→A +

y―O→B ,且―B→P =2―P→A ,则( )

A.x=23,y=13

B.x=13,y=23

C.x=14,y=34

D.x=34,y=14 解析:选 A 由题意知―O→P =―O→B +―B→P ,又―B→P =2―P→A ,所以―O→P =―O→B +23―B→A =―O→B +23(―O→A -―O→B )=23―O→A +13―O→B ,所以 x=23,y=13. 4.(2019·舟山模拟)已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+b 与 a-2b 共线,则 m 的 值为________. 解析:由 a=(2,3),b=(-1,2),得 ma+b=(2m-1,3m+2),a-2b=(4,-1),又 ma

+b 与 a-2b 共线,所以-1×(2m-1)=(3m+2)×4,解得 m=-12.

答案:-12

5.已知向量 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且 u∥v,则实数 x 的值为________.

解析:因为 a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,

所以 u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),

v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).

又因为 u∥v,所以 3(2x+1)-4(2-x)=0,

即 10x=5,解得 x=12.

答案:12

二保高考,全练题型做到高考达标

1.(2018·温州十校联考)已知 a=(-3,1),b=(-1,2),则 3a-2b=( )

A.(7,1)

B.(-7,-1)

C.(-7,1)

D.(7,-1)

解析:选 B 由题可得,3a-2b=3(-3,1)-2(-1,2)=(-9+2,3-4)=(-7,-1).

2.已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(a, 3b)与 n=(cos

A,sin B)平行,则 A=( )

π

π

A.6

B.3

π



C.2

D. 3

解析:选 B 因为 m∥n,所以 asin B- 3bcos A=0,由正弦定理,得 sin Asin B- 3sin

Bcos A=0,又 sin B≠0,从而 tan A= 3,由于 0<A<π,所以 A=π3.

3.已知 A(7,1),B(1,4),直线 y=12ax 与线段 AB 交于点 C,且―A→C =2―C→B ,则实数 a

等于( )

A.2

B.1

C.45

D.53

解析:选 A 设 C(x,y),则―A→C =(x-7,y-1),―C→B =(1-x,4-y),

∵―A→C =2―C→B ,∴?????yx--17==22??41--yx??,,

解得???x=3, ??y=3.

∴C(3,3).

又∵点 C 在直线 y=12ax 上,∴3=12a×3,∴a=2.

4.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(1,0),B(0,1),C 为坐标平面内第一象限内的点,

且∠AOC=π4,|OC|=2,若―O→C =λ―O→A +μ―O→B ,则 λ+μ=(

)

A.2 2

B. 2

C.2

D.4 2

解析:选 A 因为|OC|=2,∠AOC=π4,所以 C( 2, 2),又―O→C =λ―O→A +μ―O→B ,所

以( 2, 2)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以 λ=μ= 2,λ+μ=2 2.

5.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线

与 CD 交于点 F.若―A→C =a,―B→D =b,则―A→F =( )

A.14a+12b

B.12a+14b

C.23a+13b

D.13a+23b

解析:选 C 如图,∵―A→C =a,―B→D =b,

∴―A→D =―A→O +―O→D =12―A→C +12―B→D =12a+12b.

∵E 是 OD 的中点,

∴||DEBE||=13,

∴|DF|=13|AB|.∴―D→F =13―A→B =13(―O→B -―O→A )=13×??-12 ―B→D ??-12―A→C ????=16―A→C -16―B→D

=16a-16b,

∴―A→F =―A→D +―D→F =12a+12b+16a-16b=23a+13b,故选 C.

6.已知向量 a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,2).若向量 c 与向量 ka+b 共线,则实数 k

=________,若 c=xa+yb,则 x+y 的值为________.

解析:ka+b=k(1,3)+(-2,1)=(k-2,3k+1),因为向量 c 与向量 ka+b 共线,所以 2(k

-2)-3(3k+1)=0,解得 k=-1.因为 c=xa+yb,所以(3,2)=(x-2y,3x+y),即 x-2y=3,3x

+y=2,解得 x=1,y=-1,所以 x+y=0.

答案:-1 0

7.已知向量―O→A =(1,-3),―O→B =(2,-1),―O→C =(k+1,k-2),若 A,B,C 三点

能构成三角形,则实数 k 应满足的条件是________.

解析:若点 A,B,C 能构成三角形,则向量―A→B ,―A→C 不共线.

∵―A→B =―O→B -―O→A =(2,-1)-(1,-3)=(1,2),

―A→C =―O→C -―O→A =(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),

∴1×(k+1)-2k≠0,解得 k≠1. 答案:k≠1 8.如图,在正方形 ABCD 中,P 为 DC 边上的动点,设向量―A→C =λ―D→B +μ―A→P ,则 λ+μ 的最大值为________. 解析:以 A 为坐标原点,以 AB,AD 所在直线分别为 x 轴,y 轴建 立平面直角坐标系(图略),设正方形的边长为 2, 则 B(2,0),C(2,2),D(0,2),P(x,2),x∈[0,2]. ∴―A→C =(2,2),―D→B =(2,-2),―A→P =(x,2).

????? ∵―A→C =λ―D→B +μ―A→P ,∴?????2-λ+2λ+xμ2=μ2=,2,



λ=22- +xx, μ=2+4 x,

∴λ+μ=62- +xx.令 f(x)=62- +xx(0≤x≤2), ∵f(x)在[0,2]上单调递减, ∴f(x)max=f(0)=3,即 λ+μ 的最大值为 3. 答案:3 9.平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k.

解:(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),

? 所以???-m+4n=3, 解得 m=95,

?? ??2m+n=2,

n=89.

(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由题意得 2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, 解得 k=-1163. 10.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD=13BC,E,F 分别为线段 AD 与 BC 的 中点.设―B→A =a,―B→C =b,试用 a,b 为基底表示向量―E→F ,―D→F ,―C→D .

解:―E→F =―E→A +―A→B +―B→F =-16b-a+12b=13b-a,

―D→F =―D→E +―E→F =-16b+??13b-a??=16b-a,

―C→D =―C→F +―F→D =-12b-??16b-a??=a-23b.

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1.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(2,3),B(3,2),C(1,1),点 P(x,y)在△ABC 三

边围成的区域(含边界)内,设―O→P =m―A→B -n―C→A (m,n∈R),则 2m+n 的最大值为( )

A.-1

B.1

C.2

D.3

解析:选 B 由已知得―A→B =(1,-1),―C→A =(1,2),设―O→P =(x,

y),∵―O→P =m―A→B -n―C→A ,∴?????xy==-m-m-n,2n,

∴2m+n=x-y.

作出平面区域如图所示,令 z=x-y,则 y=x-z,由图象可知当直线 y=x-z 经过点

B(3,2)时,截距最小,即 z 最大.

∴z 的最大值为 3-2=1,即 2m+n 的最大值为 1.

2.设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A―1→A3=λA―1→A2(λ∈R),A―1→A4 =μA―1→A2 (μ∈R),且1λ+μ1=2,则称 A3,A4 调和分割 A1,A2.已知点 C(c,0),D(d,0)(c,d∈R) 调和分割点 A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( )
A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 解析:选 D 根据已知得(c,0)-(0,0)=λ[(1,0)-(0,0)],即(c,0)=λ(1,0),从而得 c=λ.(d,0) -(0,0)=μ[(1,0)-(0,0)],即(d,0)=μ(1,0),得 d=μ.根据1λ+μ1=2,得1c+1d=2.线段 AB 的方 程是 y=0,x∈[0,1].若 C 是线段 AB 的中点,则 c=12,代入1c+1d=2 得,1d=0,此等式不 可能成立,故选项 A 的说法不正确;同理选项 B 的说法也不 正确;若 C,D 同时在线段 AB 上,则 0<c≤1,0<d≤1,此时1c≥1,1d≥1,1c+1d≥2, 若等号成立,则只能 c=d=1,根据定义,C,D 是两个不同的点,矛盾,故选项 C 的说法

也不正确;若 C,D 同时在线段 AB 的延长线上,即 c>1,d>1,则1c+1d<2,与1c+1d=2

矛盾,若 c<0,d<0,则1c+1d是负值,与1c+1d=2 矛盾,若 c>1,d<0,则1c<1,1d<0,

此时1c+1d<1,与1c+1d=2 矛盾,故选项 D 的说法是正确的.

3.已知三点 A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中 a>0,b>0.

(1)若 O 是坐标原点,且四边形 OACB 是平行四边形,试求 a,b 的值;

(2)若 A,B,C 三点共线,试求 a+b 的最小值.

解:(1)因为四边形 OACB 是平行四边形,

所以―O→A =―B→C ,即(a,0)=(2,2-b),

??a=2,
?

解得???a=2,

??2-b=0,

??b=2.

故 a=2,b=2.

(2)因为―A→B =(-a,b),―B→C =(2,2-b),

由 A,B,C 三点共线,得―A→B ∥―B→C ,

所以-a(2-b)-2b=0,即 2(a+b)=ab,
因为 a>0,b>0,所以 2(a+b)=ab≤??a+2 b??2,
即(a+b)2-8(a+b)≥0,解得 a+b≥8 或 a+b≤0.

因为 a>0,b>0,所以 a+b≥8,即 a+b 的最小值是 8.

当且仅当 a=b=4 时,“=”成立.


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